Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ФР.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

Т) Если дан ФР и (C_n≥0) – сходится, при этом ½U_n(x)½≤C_n " x Î<a,b>, то ряд – сходится равномерно на <a,b>

Доказательство:

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

R_n(x)=S(x)-S_n(x)

Частичная сумма остаток

½R_n(x)½=½U_n₊₁(x)+U_n₊₂(x)+…½≤C_n+1+C_n+2+…≤a_n<e " n>N(e) т.к. – сходится

½R_n(x)½<e " x Î <a,b> Þ ½S_n(x)-S(x)½<e " x Î <a,b>

Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда.

Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [о, Ь], есть функция, непрерывная на этом отрезке.

Доказательство.

U₁(x)+U₂ (x)+U₃ (x) +… (1)

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

S_n= U₁(x)+…+U_n (x)

R_n(x)= U_n₊₁(x)+U_n₊₂ (x)+…

Возьмем на отрезке [а, b] произвольное значение аргумента х и придадим ему такое приращение Dх, чтобы точка х+Dx лежала тоже на отрезке [a, b].

Введем обозначения:

DS=S(x+Dх)—S(х), DS_n = S_n(х +D х)—S_n(х),

тогда

DS=DS_n+R_n(x+Dх)-R_n(х),

откуда

|DS| ≤ | DS_n | + | R_п(х+Dх) | + | R_n (x) |. (2)

Это неравенство справедливо для любого номера п.

Чтобы доказать непрерывность S(х), нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом e > 0 найдется число s > 0 такое, что при всех | Dx | < s будет | DS | < e.

Так как данный ряд (1) мажорируемый, то при любом наперед заданном e > 0 найдется такой номер N, что при всех п ≥ N, будет выполняться неравенство

| R_N(x) | < e/3 (3)

при любом х из отрезка [a, b]. Значение х+Dх лежит на отрезке [а, b] и потому выполняется неравенство

| R_N(x+Dx) | < e/3. (3')

Далее, при выбранном N частичная сумма S_N (х) есть функция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число s, что для всякого Dх, удовлетворяющего условию | Dx | < s, выполняется неравенство ,

| DS(x)| < e/3. (4)

На основании неравенств (2), (3), (3') и (4) получаем

| DS(x)| < e/3 + e/3 + e/3 = e

т. е.

| DS(x)| < e при | Dx | < s,

а это и означает, что S(х) является непрерывной функцией в точке х (и, следовательно, в любой точке отрезка [a, b]).

Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке [а, b] разрывна, то ряд не мажорируем на этом отрезке.

T) (о почленном интегрировании)

Если ряд сходится равномерно в <a,b>, то , где [a₁, x] Ì <a,b>

Доказательство.

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

½ =

<e (в силу равномерной сходимости)

e(b-a)≥ Þ

e₁

В итоге Þ

Т) (о почленном дифференцировании)

Пусть: 1) дан (сходится " x Î <a,b>)

2) U_n(x) – непрерывно дифференцируемы в <a,b>, т.е. $ U’_n(x) " x <a,b>

3) – сходится равномерно в <a,b>

– непрерывная функция

Тогда

Доказательство: на теоремы о почленном интегрировании можно почленно интегрировать на [a₁, x] Ì <a,b>

S(x)-S(a₁)=

(S(x)-S(a₁))’_x=

S’(x)=F(x)

S’(x)=F(x)=

Степенные ряды, обобщенные степенные ряды: осн. понятия и определения. Обл. сходимости степенного ряда. Доказать теор. Абеля для степ. ряда. Свойства рядов: а)непрерывность суммы степ. ряда; б)о почленном интегрировании; в)о почленном интегрировании.

ОСтепенным рядом наз-ся функциональный ряд вида

Областью сходимости степ. Ряда явл. некоторый интервал, который, в частности, может выражаться в точку

Т АбеляПусть дан (1)

А)Если (1) сх-ся при , то он сх-ся абсолютно

Б)Если (1) расх-ся при , то он расх-ся

Д-во: А) Дано: - сх-ся, т.е. – сх-ся, т.е. ограничена, т.е.

Тогда: - сх-ся – сх-ся и притом абсолютно

Б) Дано – расх-ся. Пусть . Предположим, что – сх-ся ( , тогда по части (А) должен сходиться,что противоречит условию. Теор. док.

Свойства рядов:

Т Сумма степ. Ряда – непрер-я ф-я в ОС, т.е. если , то S(x)-непрер. в

ТСтеп. ряд в ОС моно почленно интегрировать и при этом

ТСтеп. ряд можно дифференцировать в ОС и при этом : 1) ; 2) OC:

Вопрос

PU y(x)= y(0)ⁿ/n!*xⁿxϵ<-R,R> (1)

PT y(x)= y(0)ⁿ/n!*(x-x₀) xϵ<-R,R> (2)

1. Вычисление значений функций y(x) x=x₁. Раскладываем функцию в ряд Тейлора и Маклорена и вычисляем значение функции

2. Вычисление интегралов. fⁿ(x₀)/n!(x-x₀)ⁿ= fⁿ(x₀)/n! (x-x₀)ⁿdx= fⁿ(x₀)/n! (x-x₀)ⁿdx=

f(x₀)(x-x₀)ⁿ⁺¹/n!(n+1) [a,b] <-R,R>

3. ДУ. a) Линейные ДУ. y’’+p(x)y’+g(x)y=0 Пусть p(x)=

q(x)= ; y(x)= (3) Подставим (3) в и находим коэффициенты С_n и находим из обращения в нуль коэффициентов при любой степени х в полученном выражении

б) Если p(x)= ; q(x)= Пусть a₀,b₀,b₁ не равны, о оновр тогда решение уравнения (1) можно искать в виде обобщённого степенного ряда y(x)=x^s ; ρ(ρ-1)+a₀ρ+b₀=0 (6)

a₀= ,b₀=

a) Если ρ₁-ρ₂- не целое. y₁(x)=x^ρ¹ ; y₂(x)=x^ρ²

y₀₀=c₁y₁(x)+c2xy2(x) (!!!)

б) Если ρ₁-ρ₂- целое

2.1 Ряд Фурье. Пространство функции L₂ [- ]. Определение, св-ва.

Рассмотрим множество f(x) : = непрерывные на [- ]

Кусочные непрерывные [- ], имеющие кон число точек разрыва 1го рода

Свойства функции:

1) Если f(x) L₂ , то С*f(x) L₂

Доказательство: =С²* <

2) Если f₁(x);f₂(x) L₂ то f₁(x)+f₂(x) L₂

Д-во: (f₁(x)+f₂(x))² 0

f₁² f₁f₂+f₂² => f₁²+f₂²> f₁f₂

= < <2

Благодаря этим свойствам образуется линейное векторное пространство, которым можно показать, что L₂ не имеет конечного базиса. Базис содержит бесконечное множество векторов

Можно ввести скалярное произведение:

{f(x),g(x)} =