Вопрос 16. ЛНДУ-n с постоянными коэффициентами: отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов по виду правой части специального вида (все случаи доказывать).
(1)
L(y)=0 (2) ОЛДУ-n
(3)
XY: (4)
(5)
1.А - не корень ХУ ( в (1))
yчн=Qm(x)=C0xm+C1xm-1+…+Cm,
yчн’=C0mxm-1+…+Cm-1=Q’m(x), Q’m(x)-многочлен степени (m-1)
y’’чн=………..=Q’’m(x), Q’’m(x)-многочлен степени (m-2)
y(n)чн=…..=Q(n)m(x)
(6) и (7) в (1) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях получим: (m+1) – алгебраических выражений для определения C1………
1.Б λ1,2,3….,s=0-корень ХУ (4) кратности s, тогда уравнение (1) будет иметь вид:
a0y(n)+a1y(n-1)+…+an-sy(s)=f(x) (8)
ХУ: a0λn+a1λn-1+….+an-sλs=0
λ(a0 λn-s+a1 λn-1-s+…+an-s-1)=0
(8)-ДУ-n, допускающие понижение порядка, тип 20
(9)
a0p(n-s)+a1p(n-s-1)+….+an-sp=f(x) НЛДУ-(n-s) порядка
ХУ: a0 λn-s+a1 λn-s-1+….+an-s=0 (11)
при чем λ=0 – не корень ХУ (11), тогда по случаю 1.А Pчн=Qm(x)=C0xm+Cm , но Pчн=y(s)чн (смотри (9), тогда
y(s)чн=Qm(x) ДУ, допускающее понижение порядка (тип 1)
Достаточно: yчн=xsQm(x)
20 f(x)=eαxPm(x)=eαx(b0xm+b1xm-1+….+bm)
y’’+a1y’+a2=eαxPm(x) (13)
y=eαxz(x) (14) λ2+a1λ+a2=0 (*)
y’=z’eαx+αzeαx=eαx(z’+αz)
z’’=z’’eαx+2αz’eαx+α2zeαx=eαx(z’’+2αz’+α2z)
(14) в (13) и сокращаем на eαx:
z’’+2αz’+α2z+a1(z’+αz)+a2z=Pm(x)
z’’+(2α+a1)z’+ (α2+a1α+a2)z=Pm(x) (15)
2.А α-не корень ХУ (*)
Тогда в левой части (15) все члены 1.А zчн=Qm(x)=C1xm+C2xm-1+…+Cm
yчн eαxQm(x)
2.B α-корень ХУ (*) кратности 1
α2+a1α+a2=0, т.е. в (15) нет члена с z (случай 1.B)
yчн=x1eαxQm(x)
|
|
2.C α-корень ХУ(*) кратности 2, т.е. λ1= λ2=α По Теореме виета Þ λ1+ λ2= -a1 , 2 λ1= -a1Þ2 λ1+a1=0
Þ в (15) не будет z и z’’, по случаю 1.B
zчн=x2Qm(x)
yчн=x2eαxQm(x) (16)
2.D В общем случае. α –корень ХУ(4) кратности s,
yчн=xseαxQm(x)=xse αx(C0xm+……+Cm) (17)
30 f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Rk(x)sinβx] (18)
cosβx=
sinβx=
f(x)=f1(x)+f2(x)
Известно, если L(y)=f1(x)+f2(x) НЛДУ-n
yчн=yчн1+yчн2
Случай 30 свелся к случаю 20
3.A Если α±iβ-не корень ХУ
yчн= , r=наиб{m,k} (19)
3.B Если α±iβ-не корень ХУ кратности S
yчн= (20)
18.Доказать теоремы:
(1)
Sn= = a1+a2+a3+….+an (2)
rn= = an+1+an+2+… остаток ряда (3)
Теорема о сходимости остатка ряда:
Если ряд (1) сходится, то остаток ряда (3) тоже сходится.
Дано: Sn=S-конечное число ( - сходится)
Доказать: lim rn,k= конечное число
a1+a2+a3+….+an + an+1+an+2+…
a1+a2+a3+….+ak+ak+1+ak+2+…
Sk= a1+a2+a3+….+ak
Sn= a1+a2+a3+….+an
rk= ak+1+ak+2+…
rn= an+1+an+2+…
Sn= Sk+ rn,k
rk= Sn- Sk, Sk-конечное число слагаемых
rn,k= ( Sn- Sk)= Sn- Sk=S- Sk – конечное число ,(я не знаю как сделать пояснения по ходу,в лекции в кружок обводили,
Поэтому буду в скобках писать Sn=S, Sk= Sk,и еще не уверен насчет того к чему стремятся пределы)
rn,k-остаток ,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!)
Смысл теоремы: отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на сходимость этого ряда
|
|
Теорема о сходимости ряда к нулю:
Если ряд (1) сходится, то остаток rn стремится к 0
Доказательство: Sn=S
= a1+a2+a3+….+an + an+1+an+2+… (Sn и rn те же что и выше, rk- остаток ,это ряд(!!!!!!!!!!!!!!))
Дано S= Sn+ rn=> rn=S- Sn
rn= (S- Sn)=S- Sn=S-S=0
Необходимое условие сходимости ряда:
Для того чтобы сходился, необходимо чтобы an=0 (4)
Доказательство: Sn= a1+a2+a3+….+an
Sn+1= a1+a2+a3+….+an + an+1
an+1= Sn+1- Sn
an+1= ( Sn+1- Sn)= (Если сходится, то Sn=S, Sn+1=S)=S-S=0
Теоремы о действиях со сходящимися рядами:
1)Если = S сходится ,то ряд тоже сходится и =cS
Док-во:
Дано: Sn= a1+a2+a3+….+an Sn=S, тогда σn= ca1+a2+ca3+….+can= =c(a1+a2+a3+….+an)=cSn, тогда σn = cSn= cSn
2)Если сходятся ряды = SA, = SB, то сходится ( an±bn)= SA± SB
Док-во: (Sn)A= a1+a2+a3+….+an
(Sn)B= b1+b2+b3+….+bn
σn = ( an±bn)= ( a1±b1)+ ( a2±b2)+…+ ( an±bn)=( a1+a2+a3+….+an) ±( b1+b2+b3+….+bn )= (Sn)A± (Sn)B
σn = ((Sn)A± (Sn)B)= SA± SB
19.Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения. Модифицированный признак сравнения(доказать).Доказать достаточные признаки сходимости.\ Даламбера, Коши (радикальный, интегральный)
an (1)
(1) Всегда имеет сумму
А) Если S – конечна сходится
Б) Если S – бескон рассходится
Необходимое условие сходимости (обычное)
Признаки сравнения
|
|
Если an bn, то
an- мажорируемый ряд
bn -мажорирующий ряд
Теорема:
Пусть (an<bn)
1) Если сходится, то и сходится
2) Если расходится то и расходится
Доказательство
(Sn) A=
(Sn) B=
(Sn)A (Sn)B , SA B (2)
Из(2) Если – сходится, то B -конечная => SA -конечная < B => - сходится
Из(2) Если - – расходится, то SA -бесконечная => B -бесконечная > SA => - расходится
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 429; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!