Независимость КИ-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.



ДИ: задача, приводящая к понятию ДИ; определение ДИ; классы интегрируемых функций; свойства ДИ; вычисление ДИ для прямоугольной области(вывод); для произвольной области(вывод); изменение порядка интегрирования ДИ

Задача, приводящая к ДИ – вычисление объема тела, ограниченного непрерывной ф-й z= f(x, y).

Пусть: 1) в ограниченной замкнутой области D с площадью s задана ограниченная функция f(x, y); 2)  разбиение области на подобласти Dk с площадями ΔDk и диаметрами dk, – диаметр разбиения и ; 3) зафиксируем точки Mk 4) построим интегральную суммуI(dk,Mk)=  . О п р е д е л е н и е . Конечный предел I интегральной суммы In при , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Mk, называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается: In=

Классы интегрируемых по Риману ф-й:1)непрер-е на D; 2)кусочно-непрер-е, с конечным числом линий и точек разрыва на D (1-го рода)

Свойства ДИ: 1)

2)

3)

4) Если m   , то ms s – пл-дь D (теорема об оценке)

5)   m ,

 ,  – ср.точка. (теорема о среднем)

1) Если f(x,y) 0  то

2) Если f(x,y) g(x,y) , то

3) Если

Вычисление ДИ для прям-ой области:

Теорема: Пусть задана П= , и 1) ;2) , тогда

Док-во: ym=d                                             

                                                                                

y0=c                                           

                                                   

                                              X0=a                     xn=b

(А) ;

(В) ;

Рассмотрим:

 – условие существования ДИ

ДИ по произвольной области(ДСК)

Т.Пусть задана область,прав-я в направлении ОУ: 1)  ; 2)  , Тогда:

Д-во: заключим D в прямоугольник. Введем

(С)

(D)

 

3 вопрос.

П-Тройной Интеграл

Пусть f(x,y,z) определена в VCR2

1) V={V1,V2 ,…,Vn} d-диаметр Vi ;  Vi-объём Vi

2) Mi(ƺ,η,ӡ)ϵVn

3) F(Mi)∆ѵ=  

d=наиб{d}

П- Свойства тройного интеграла

Все свойства совпадают со свойствами двойного интеграла

П-Вычисление

а) повторный интеграл

б) Теорема. Если f(x,y,z) интегрируема по Риману в области V Ǝ повторный интеграл (3),то  

V-правильная в направлении Oz

Замечание: если V-правильная в направлении Оx, то

Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.

а) переход к цилиндрическим координатам

 M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z)                                (2)

(x,y,z)↔( ρ, φ,z)

x= ρcos(φ)

 (1)  (1’)

  (2)

 

 

 

 

это знак якобиана если что;)

dV=dxdydz= dρdφdz    (3)

           (4)

б) Переход к сферическим координатам  

ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке

r-радиус-вектор точки M

Пусть -новые координаты, тогда:

 

(5)                    (5’)

                                                                                                          

 

dxdydz=

6.криволинейные интегралы:1)пусть переменная t  с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [  R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве ,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время ,то (3)-уравнение траектории движения.3)если  предшествует точке M( , т.е. M[x( y( ,z( ] предшествует M[x( y( ,z( ]. Г: t) .если .если M( t  x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.

Криволинейные интегралы 2 рода

Определение: Конечный предел интегральной суммы In при λ→∞ ,не зависящий от точек Mi ,называется криволинейным интегралом

второго рода от функций P,Q,R по пути L:

 In=

Определение (еще одно хз какое лучше): Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

 

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы: , , ,то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают: = + + (1)

Свойства КИ-2:

1) Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (1) существует

2) При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: = -

Про работу:Работа при перемещении тела в силовом поле  вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода:

A= , где  − сила, действующая на тело,  − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение *  означает скалярное произведение векторов  и .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую L

Вычисление КИ-2: Если линия AB задана в параметрической форме:x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2, где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции , и при изменении параметра t от t1 к t2 кривая описывается именно от точки A к точке B, то

=

Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл

 

Независимость КИ-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.

Рассмотрим криволинейный интеграл dy

Пусть = (1) т.е.

- =0

Тогда на основании свойств КИ имеем

+ =0

т.е КИ по замкнутому контуру L

=0 (2)

Таким образом, из условия, что для любых точек M и N КИ не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю

Теорема Пусть во всех точках области D функции Х(х,у) и Y(x,y) вместе со своими частными производными  и  непрерывны. Тогда для того чтобы КИ-2 по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, был равен нулю, т.е. чтобы

=0, где P= , а Q=

Необходимо и достаточно выполнение равенства

 =  (3)

ДоказательствоРассмотрим произвольный замкнутый конутр L, в области D, и для него напишем формулу Грина:

)dxdy=

Если выполняется (3), то двойной интеграл тождественно равен нулю, и следовательно

=0

Таким образом достаточность доказана

НУ

Если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L, в области D, то в каждой точке этой области выполняется (3)

Допустим напротив, что равенство (2) выполняется, т.е.

=0

А условие (3) не выполняется  -   хотя бы в одной точке. Например в точке Р(x0,y0), имеем равенство

 -  >  

Т.к. в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа >0 во всех точках достаточно малой области G. Содержащей точку Р(x0,y0). Возьмем двойной интеграл по этой области от разности  - . Он будет иметь положительное значение.

Действительно: )dxdy> dxdy= =  G>0

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна нулю, что противоречит условию (2), а значит предположение  - неверно, отсюда вытекает, что  -  = во всех точках области D


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 234; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ