Независимость КИ-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
ДИ: задача, приводящая к понятию ДИ; определение ДИ; классы интегрируемых функций; свойства ДИ; вычисление ДИ для прямоугольной области(вывод); для произвольной области(вывод); изменение порядка интегрирования ДИ
Задача, приводящая к ДИ – вычисление объема тела, ограниченного непрерывной ф-й z= f(x, y).
Пусть: 1) в ограниченной замкнутой области D с площадью s задана ограниченная функция f(x, y); 2) разбиение области на подобласти Dk с площадями ΔDk и диаметрами dk, – диаметр разбиения и ; 3) зафиксируем точки Mk 4) построим интегральную суммуI(dk,Mk)= . О п р е д е л е н и е . Конечный предел I интегральной суммы In при , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Mk, называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается: In=
Классы интегрируемых по Риману ф-й:1)непрер-е на D; 2)кусочно-непрер-е, с конечным числом линий и точек разрыва на D (1-го рода)
Свойства ДИ: 1)
2)
3)
4) Если m , то ms s – пл-дь D (теорема об оценке)
5) m ,
, – ср.точка. (теорема о среднем)
1) Если f(x,y) 0 то
2) Если f(x,y) g(x,y) , то
3) Если
Вычисление ДИ для прям-ой области:
Теорема: Пусть задана П= , и 1) ;2) , тогда
Док-во: ym=d
y0=c
|
|
X0=a xn=b
(А) ;
(В) ;
Рассмотрим:
– условие существования ДИ
ДИ по произвольной области(ДСК)
Т.Пусть задана область,прав-я в направлении ОУ: 1) ; 2) , Тогда:
Д-во: заключим D в прямоугольник. Введем
(С)
(D)
3 вопрос.
П-Тройной Интеграл
Пусть f(x,y,z) определена в VCR2
1) V={V1,V2 ,…,Vn} d-диаметр Vi ; Vi-объём Vi
2) Mi(ƺ,η,ӡ)ϵVn
3) F(Mi)∆ѵ=
d=наиб{d}
П- Свойства тройного интеграла
Все свойства совпадают со свойствами двойного интеграла
П-Вычисление
а) повторный интеграл
б) Теорема. Если f(x,y,z) интегрируема по Риману в области V Ǝ повторный интеграл (3),то
V-правильная в направлении Oz
Замечание: если V-правильная в направлении Оx, то
Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.
а) переход к цилиндрическим координатам
M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z) (2)
(x,y,z)↔( ρ, φ,z)
x= ρcos(φ)
(1) (1’)
(2)
это знак якобиана если что;)
dV=dxdydz= dρdφdz (3)
(4)
б) Переход к сферическим координатам
ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке
|
|
r-радиус-вектор точки M
Пусть -новые координаты, тогда:
(5) (5’)
dxdydz=
6.криволинейные интегралы:1)пусть переменная t с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [ R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве ,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время ,то (3)-уравнение траектории движения.3)если предшествует точке M( , т.е. M[x( y( ,z( ] предшествует M[x( y( ,z( ]. Г: t) .если .если M( t x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.
Криволинейные интегралы 2 рода
Определение: Конечный предел интегральной суммы In при λ→∞ ,не зависящий от точек Mi ,называется криволинейным интегралом
второго рода от функций P,Q,R по пути L:
In=
Определение (еще одно хз какое лучше): Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),
Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы: , , ,то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают: = + + (1)
Свойства КИ-2:
1) Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (1) существует
|
|
2) При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: = -
Про работу:Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода:
A= , где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение * означает скалярное произведение векторов и .
Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую L
Вычисление КИ-2: Если линия AB задана в параметрической форме:x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2, где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции , и при изменении параметра t от t1 к t2 кривая описывается именно от точки A к точке B, то
=
Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл
Независимость КИ-2 от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
Рассмотрим криволинейный интеграл dy
Пусть = (1) т.е.
- =0
Тогда на основании свойств КИ имеем
+ =0
т.е КИ по замкнутому контуру L
=0 (2)
Таким образом, из условия, что для любых точек M и N КИ не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю
|
|
Теорема Пусть во всех точках области D функции Х(х,у) и Y(x,y) вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда для того чтобы КИ-2 по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, был равен нулю, т.е. чтобы
=0, где P= , а Q=
Необходимо и достаточно выполнение равенства
= (3)
ДоказательствоРассмотрим произвольный замкнутый конутр L, в области D, и для него напишем формулу Грина:
)dxdy=
Если выполняется (3), то двойной интеграл тождественно равен нулю, и следовательно
=0
Таким образом достаточность доказана
НУ
Если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L, в области D, то в каждой точке этой области выполняется (3)
Допустим напротив, что равенство (2) выполняется, т.е.
=0
А условие (3) не выполняется - хотя бы в одной точке. Например в точке Р(x0,y0), имеем равенство
- >
Т.к. в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа >0 во всех точках достаточно малой области G. Содержащей точку Р(x0,y0). Возьмем двойной интеграл по этой области от разности - . Он будет иметь положительное значение.
Действительно: )dxdy> dxdy= = G>0
Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна нулю, что противоречит условию (2), а значит предположение - неверно, отсюда вытекает, что - = во всех точках области D
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 671; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!