Тема 2. Экстремум функции двух переменных

(безусловный и условный)

 

Безусловный экстремум функции

2.1. Найти экстремум функции двух переменных .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Условный экстремум функции

2.2.Найти условный экстремум функции, применяя метод подстановки.

1) ,если ;

2) ,если ;

3) ,если .

 

 

Тема 3. наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в области. градиент функции

 

Наибольшее и наименьшее значения функции в области

3.1.Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области.

1)функция ,границы области{ , , };

2)функция  границы области .

3)функция ,границы области{ , , , }.

Градиент функции

3.2. Найти градиент  функции:

1) 2)       3)

3.3. Построить линии уровня и  в точке А(1;2) для функций:

1) ;   2) ;        3) .

 

Контрольная работа № 2

«Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

Вариант 0

Примерные задачи в контрольной работе

Задача 1. Дана функция двух переменных

.

1. Описать математически область определения функции

2. Изобразить геометрически на плоскости область определения функции.

Задача 2. Дана функция .

1. Найти все частные производные первого и второго порядка функции.

2. Убедиться в равенстве смешанных производных.

Задача 3. Дана функция .

1. Записать уравнение линии уровня, проходящей через точку , и построить линию уровня

2. Найти градиент функции в точке  и наибольшую скорость изменения функции в этой точке.

3. Построить градиент.

Задача 4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области, заданной уравнениями границ , , .

Задача 5. Найти экстремумы функции .

Задача 6*. Дана функция ,где  - выпуск продукции,  и  - ресурсы двух видов.

1. Вычислите коэффициент эластичности  в точке.

2. Дайте истолкование результату.

 

 

 

Модуль 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Тема 1. методы нахождения неопределенного интеграла

Непосредственное интегрирование

1.1. Вычислить, используя свойства и таблицу основных интегралов.

; 4) ;               

5) ;              6) ; 7) ;                

8) ;   9) ;

10) ;            11) ;     12) .

Замена переменной в неопределенном интеграле

1.2. Найти интегралы методом замены переменной

1) ;  2) ;             3) ;

4) ; 5) ;            6) ;

7) ;               8)) ;      9) ;         

10) ; 11) ;           12) ;          

13) ;      14) ;      15)

 

Метод интегрирования по частям*    .

1.3. С помощью метода интегрирования по частям найти интегралы.

1) ;          2) ;            3) . 

 

 

Тема 2. Интегрирование рациональных функций

 

Интегралы от рациональных дробей вида  и

2.1. Найти интегралы.

1) ;    2) ;     3) ;   4) .

 

Интегралы от рациональной дроби вида   ( )

2.2. Найти интегралы.

1) ; 2) ;   3) .

Интегралы от правильной дробно-рациональной функции

2.3. Найти интегралы, используя метод неопределенных коэффициентов.

1) ;           2) ; 3) ;

4) ;        5) ;              6) .

 

Интегралы от неправильной дробно-рациональной функции

2.4. Найти интегралы.

1) ;               2) ;    3) ; 

4) ;   5) ; 6) .

 

 

 

Тема 3. Вычисление определенного интеграла

 

Формула Ньютона-Лейбница

4.2.Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

1) ;                     2) ; 3) ;           

4)          5)             6) .

7) ; 8) ; 9) .

Замена переменной в определенном интеграле

4.3. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.

1) ;         2) ;          3) ;

4) ;                  5) ;          6) .

7) ;            8) ; 9) ;

10) ;   11) ; 12) ;

13) ;    14) ;        15) .