Основы математического анализа
ДИСЦИПЛИНА « МАТЕМАТИКА »
Вопросы для подготовки к экзамену (СОД, 1 семестр)
Комплексные числа
1.1. Мнимая единица. Комплексные числа в алгебраической форме. Основные понятия.
1.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия в тригонометрической и показательной формах. Формулы Эйлера.
Основы линейной алгебры
2.1. Понятие матрицы, размерность и порядок матрицы. Основные виды матриц (нулевая, единичная, диагональная, треугольная, трапециевидная, транспонированная). Вырожденная и невырожденная матрица.
2.2. Операции над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.
2.3. Определители второго и третьего порядка, их вычисление.
2.4. Определители n–го порядка. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Формула разложения определителей по элементам строки или столбца.
2.5. Свойства определителей.
2.6. Понятие обратной матрицы, ее нахождение.
2.7. Ранг матрицы, его свойства и вычисление.
2.8. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия: однородная и неоднородная система, решение системы, совместная и несовместная система, неопределенная и определенная система, матрица и расширенная матрица системы.
2.9. Исследование линейных алгебраических систем на совместность. Теорема Кронекера – Капелли. Исследование систем n уравнений с n неизвестными. Следствия для однородных систем.
|
|
|
2.10. Методы решения линейных алгебраических систем: Крамера, матричный; возможности применения методов.
2.11. Методы решения линейных алгебраических систем: Гаусса; возможности применения метода.
2.12. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений.
2.13. Собственные значения и собственные векторы матриц.
Элементы векторной алгебры
3.1. Вектор. Основные понятия и определения.
3.2. Линейные операции над векторами в геометрической форме: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Свойства линейных операций.
3.3. Общее понятие линейного (векторного) пространства. Понятие линейной зависимости и независимости векторов. Базис и размерность пространства.
3.4. Проекция вектора на ось. Свойства проекции.
3.5. Координаты вектора в произвольном (аффинном) и ортонормированном базисе. Разложение вектора по ортам осей координат. Действия над векторами в координатной форме.
3.6. Скалярное произведение векторов: определение, механический смысл, алгебраические и геометрические свойства, применения в механике и геометрии, вычисление в декартовых координатах.
3.7. Векторное произведение векторов: определение, механический смысл, алгебраические и геометрические свойства, применения в механике и геометрии, вычисление в декартовых координатах.
|
|
|
3.8. Смешанное произведение векторов: определение, геометрический смысл, свойства, применение в геометрии, вычисление в декартовых координатах.
Элементы аналитической геометрии
4.1. Предмет аналитической геометрии. Декартова система координат на прямой, на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении.
4.2. Прямая линия на плоскости: основные виды уравнений. Угол между прямыми, условия коллинеарности и ортогональности. Расстояние от точки до прямой.
4.3. Кривые второго порядка. Окружность: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение.
4.4. Кривые второго порядка. Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, эксцентриситет и его смысл, директрисы. Эллипс со смещенным центром.
4.5. Кривые второго порядка. Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение, асимптоты, эксцентриситет и его смысл, директрисы. Сопряженная гипербола. Гипербола со смещенным центром.
|
|
|
4.6. Кривые второго порядка. Парабола: определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение. Парабола со смещенной вершиной.
4.7. Общее уравнение линии второго порядка, преобразование к каноническому виду линии со смещением центра.
4.8. Полярные координаты на плоскости. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий.
4.9. Плоскость в пространстве: основные виды уравнений. Основные способы получения уравнения плоскости, построение плоскостей. Угол между плоскостями. Условия параллельности и ортогональности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.
4.10. Прямая в пространстве: основные виды уравнений. Основные способы получения уравнения прямой. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Угол между прямыми, условия параллельности и ортогональности прямых.
4.11. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Условия параллельности и ортогональности прямой и плоскости. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости, точка пересечения прямой и плоскости.
4.12. Поверхности второго порядка: сфера, конус, эллипсоид, однополостный и двуполостный гиперболоиды, цилиндры (эллиптический, параболический гиперболический), параболоиды (эллиптический, гиперболический).
|
|
|
Основы математического анализа
5.1. Понятие функции: область определения и образ функции. Способы задания функции. Графики и свойства основных элементарных функций.
5.2. Классификация функций. Понятия сложной и обратной функции.
5.3. Характеристика поведения функции: четность и нечетность, непрерывность, периодичность, монотонность, ограниченность и неограниченность. Экстремумы функции. Схема исследования функции.
5.4. Предел функции в точке. Свойства пределов, вытекающие из определения.
5.5. Бесконечно малые, бесконечно большие, их связь и свойства. Эквивалентные бесконечно малые. Цепочка эквивалентных б. м.
5.6. Предельный переход в неравенствах. Лемма Гурьева (теорема «о двух полицейских»). Первый и второй замечательные пределы.
5.7. Основные теоремы о пределах.
5.8. Математические неопределенности и методы их раскрытия.
5.9. Односторонние пределы функции в точке.
5.10. Непрерывность функции в точке. Арифметические свойства непрерывных функции. Классификация точек разрыва.
5.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке: теоремы Вейерштрасса об ограниченности; теоремы Коши о промежуточных значениях.
5.12. Асимптоты графика функции: горизонтальные, вертикальные, наклонные и их нахождение.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 334; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!