Формула Эйлера для определения критической силы при расчете на устойчивость.



ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНАМ

По сопротивлению материалов для студентов групп ГСХ и ТГВ

1. Определение нормальных напряжений в поперечном сечении кривого стержня при чистом изгибе.

2. Формула Эйлера для определения критической силы при расчете на устойчивость.

3. Условие устойчивости и решение 3-х задач на его основе.

4. Какие напряжения называются переменными?

5. Формула для определения результирующих нормальных напряжений при косом изгибе.

6. Определение нормальных напряжений в поперечном сечении в общем случае сложного сопротивления.

7. Формула Верещагина для определения перемещений и условие жесткости.

8. Понятие о сложном сопротивлении. Виды сложного сопротивления.

9. Вывод формулы результирующих напряжений при внецентренном растяжении-сжатии, уравнение нейтральной линии, условие прочности.

10. Вывод формулы Эйлера для определения критической силы.

11. Что называется устойчивостью?

12. Что называется коэффициентом динамичности?

13. Вывод формулы теоремы Кастильяно.

14. Какие напряжения называются динамическими?

15. Вывод формулы интеграла Максвелла-Мора для определения перемещений при поперечном изгибе.

16. Вывод формулы для определения критических напряжений при расчете на устойчивость.

17. Определение напряжений при ударном действии нагрузок.

18. Что называется потерей устойчивости?

 

Определение нормальных напряжений в поперечном сечении кривого стержня при чистом изгибе.

 Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чис­тым изгибом. Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а попе­речные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, согласно второго выражения (5.4), вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z) = const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих мо­ментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса прини­мает форму дуги окружности с радиусом кривизны r (рис. 5.6). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере­местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сече­ний друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 5.6).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол d Q, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а ниж­ние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом CD = C¢D¢= dz =rdQ. Произвольный отрезок АВ, расположен­ный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину A ¢B ¢ - AB. С учетом построений, изображенных на рис. 5.6, легко определить величину его линейной деформации:

. (5.6)

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям s можно осуществить посредством закона Гука: (5.7)

Рис. 5.7

Устано­вим положение нейт­ральной оси x, от кото­рой происходит отсчет координаты у (рис. 5.7). Учитывая, что сумма элементарных сил sdF по площади попе­речного сечения F дает нормальную силу Nz . Но при чистом изгибе Nz = 0, следовательно:

 

.

Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx через s. Очевидно, что

. (5.8)

C учетом выражения (5.7) получим:

.

Откуда

, (5.9)

где - кривизна нейтрального волокна; EIx - жесткость бруса.

Из формулы (5.7), исключая 1/r, окончательно получим:

. (5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения s в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = ymax):

,

где - момент сопротивления сечения.

Энергия упругих деформаций бруса при изгибе V определяется работой момента Mx на соответствующем угловом перемещении d Q:

, с учетом и ,

окончательно получим

. (5.11)

Формула Эйлера для определения критической силы при расчете на устойчивость.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 331; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ