Теорема о работе статической силы, приложенной к упругой системе (Теорема Клапейрона).



Работа статической силы, приложенной к упругой системе, равняется половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение перемещения.

Пусть  - сила, изменяющаяся на сегменте  а

 - перемещение, изменяющееся в пределах . Система линейно упруга и сила связана с перемещением законом Гука , где  - перемещение, вызванное силой  Тогда

Эта теорема, носящая имя Клапейрона, имеет простую геометрическую интерпретацию.

Легко понять, что множитель у работы, равный  появляется по той причине, что сила не постоянна, а меняется по линейному закону.

 

Потенциальная энергия деформации плоской стержневой системы.

Будем рассматривать плоскую систему, т.е. систему все стержни которой и все силы лежат в одной плоскости. В стержнях такой системы в общем случае могут возникать при внутренних силовых факторах:

Упругая система, деформируясь, накапливает при этом энергию (упругую энергию) называемую потенциальной энергией деформации.

 Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии.

Потенциальная энергия накопленная в малом элементе длиной dz будет равняться работе сил приложенных к этому элементу

Потенциальная энергия для стержня: 

Замечание. и  - необязательно постоянные величины

 

.Напряженное состояние при растяжении и сжатии.

Во вводной лекции мы уже упоминали о напряженном состоянии в точке и в частности, говорили, что знать напряженное состояние в точке – это уметь вычислить напряжения по любой площадке, проходящей через данную точку. Теперь уже мы рассмотрим этот вопрос в случае, когда исследуемая точка принадлежит растянутому или сжатому стержню.

Пусть стержень растянут силой F и в поперечных сечениях стержня, как мы знаем, возникают нормальные напряжения равные , где А - площадь поперечного сечения.

Проведем через исследуемую точку А произвольное сечение, положение которого задается углом  между осью стержня и внешней нормалью к сечению. Кроме того, проведем еще поперечное сечение. Выделим с помощью указанных сечений элемент и рассмотрим равновесие данного элемента.

По наклонной площадке действует полное напряжение . проектируя силы, действующие на элемент на ось стержня, получаем

Разлагая  на нормальное  и касательное напряжение, получаем

Переходя к функциям угла  имеем

Уравнения (5) дают возможность вычислить напряжения по любым площадкам, проходящим через данную точку, т.е. определяют напряженное состояние при растяжении и сжатии. Очевидно, что касательные напряжения обращаются в нуль по двум площадкам  (поперечное сечение) и  (продольное сечение). Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие по ним, главными напряжениями.

Очевидно, что одно из главных напряжений, действующее в поперечном сечении -  является максимальным по модулю, что обосновывает использование формулы (1), как основной расчетной формулы при растяжении, сжатии, а другое главное напряжение, действующее в продольных площадках рано нулю. Таким образом, продольные площадки свободны от напряжений.

Из второго уравнения (5) видно, что максимальные касательные напряжения возникают по площадкам, наклоненным к оси на угол , и равняются по величине

Максимальные касательные напряжения являются причиной разрушения образцов из хрупких материалов, испытываемых на сжатие.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 167; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ