Напряжения при растяжении и сжатии.



 

Рассмотрим стержень, растянутый по торцам силами.

Определим в некотором произвольном сечении нормальную силу и напряжения. Воспользуемся методом сечений, рассечем стержень на две части и рассмотрим равновесие одной из них. Очевидно, что нормальная сила .

 Далее, используя принцип Сен-Венана, приходим к выводу,

что напряженное состояние должно быть точно таким же, как и в случае однородного растяжения, рассмотренном выше. Таким образом, если  - площадь поперечного сечения стержня, то при равномерном характере распределения напряжений.  - нормальная сила равна

При растяжении (сжатии) нормальные напряжения распределены по сечению равномерно и равняются нормальной силе, деленной на площадь поперечного сечения.   (1)

Нормальным силам и напряжениям предписывается знак: при растяжении плюс, при сжатии минус.

 

Деформированное состояние при растяжении и сжатии.

Т.к. напряженное состояние однородно, то однородным будет и деформированное состояние. Любой элемент объема будет деформироваться одинаково. Поперечные сечения стержня останутся плоскими, и будут удаляться друг от друга при растяжении и сближаться при сжатии. Этот факт можно положить в основу всей теории и сформулировать как гипотезу плоских сечений: сечения плоские и нормальные к оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси после деформации.

Определим удлинения и деформации, возникающие в стержне.

Пусть  - длина стержня до деформации,  - длина стержня после деформации. Величину  называют продольным удлинением. Т.к. деформированное состояние однородно, то деформация не зависит от базы измерения. Деформация в направлении оси стержня равняется:        (2)  Эта величина называется относительным удлинением стержня.

Продольная деформация ( в направлении оси стержня) сопровождается поперечной: ,     где

 - характерный размер поперечного сечения до деформации;

 - то же самое после деформации.

Знаки продольной и поперечной деформаций противоположны. Продольное удлинение сопровождается уменьшением поперечных

размеров и наоборот.

Отношение деформации поперечной к деформации продольной есть для данного материала величина постоянная, называется коэффициентом Пуассона.   

Для сталей эта величина колеблется в пределах 0,25 – 0,35.

 

Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука.

Как уже упоминалось ранее, между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена лишь экспериментальным путем.

Большинство твердых тел, при сравнительно небольших нагрузках, обнаруживают свойство однозначной зависимости между напряжениями и деформациями (или между силами и перемещениями).

Например, если вспомнить известные нам из курса лабораторных работ диаграммы растяжения и сжатия малоуглеродистой стали, то можно заметить, что вплоть до значений напряжения равного - предела пропорциональности зависимость между напряжениями и деформациями близка к линейной.

Подобная картина наблюдается и у других сталей, а также, может быть менее отчетливо, у других материалов. Данный экспериментальный факт позволяет принять простейший из упругих законов – закон Гука, т.е. закон линейной упругости:

Напряжения пропорциональны деформациям

Коэффициент пропорциональности между напряжениями и деформациями  называется модулем упругости первого рода (модулем Юнга). Модуль упругости  определяется опытным путем и служит мерой жесткости материала. Геометрический смысл  - угловой коэффициент прямолинейного начального участка диаграммы материала.          

Модуль упругости для некоторых, часто применяемых материалов, имеет приблизительно следующие значения.

 Сталь: ;     Медь: ;

 Дерево: ;                Каучук:

Отметим еще раз, что свойство упругости, в частности линей-

ной упругости, относительно. Уместно говорить не о упругих и неупругих материалах, а о упругом и неупругом состоянии материала.

Если в (3) выразить  по формуле (2) и учесть (1), то получим закон Гука в форме, позволяющей находить удлинения.

Величину  называют жесткостью при растяжении-сжатии. Закон (4) можно сформулировать следующим образом: удлинение стержня прямо пропорционально нормальной силе и длине стержня и обратно пропорционально жесткости при растяжении-сжатии.

По формуле (4) можно определять удлинения только в том

случае, если нормальная сила и поперечное сечение постоянны по

длине стержня, т.е. если напряженное состояние однородно.

Если нормальная сила и поперечное сечение меняются по длине ступенчато, то стержень надо разбить на участки, так чтобы в пределах каждого участка  и  были постоянны, определить удлинение каждого из участков и тогда полное удлинение стержня будет равняться алгебраической сумме, (знак определяется знаком ) удлинений участков.

Если же напряженное состояние в стержне неоднородно, то выделив малый элемент длиной определим его удлинение

, Здесь  и  рассматривается как функции z. Полное удлинение стержня будет равно:


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 473;