Розрахунок тонкостінних резервуарів. Вивести формулу Лапласа.



 

Розглянемо резервуар, що представляє собою

осесиметричну оболонку з товщиною стінки h , навантажену

внутрішнім тиском p .

Меридіональні перерізи оболонки представляють собою

плавні криві без зламів. Перерізи, перпендикулярні осі, – кола.

Край оболонки закріплено так, що в перерізі діють тільки

нормальні напруження.

Зі стінки резервуара виділимо елемент ABCD двома

площинами, що проходять через меридіани, і двома конічними

поверхнями, що пересікають оболонку вздовж паралелей AB ,

CD.

Позначимо:

1 OO – нормаль до

елемента.;

O– центр елемента;

m t ρ ,ρ – радіуси кривизни оболонки в

меридіональному і тангенціальному напрямках.

Прикладемо до елемента зовнішні і

внутрішні сили і запишемо рівняння рівноваги:

сума проекцій сил на нормаль O O 1 дорівнює

нулю:

 

 

 

Поділивши на , одержимо рівняння Лапласа:

 

 

6. Плоска задача теорії пружності, розв’язок плоскої задачі в напруженнях, ф-ція напруження Ері.

Розв’язання плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їхніх елементи працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскій задачі теорії пружності.

Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, що по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основам, і рівномірно розподіленими по товщині (рис)

Розвяхок плоскої задачі в напруженнях

 

 

При  похідні від них будуть=0.

Функція Ері


 

 

 

Розрахунок нескінченного клина на дію зосередженого моменту

Рішення плоскої задачі в полярних координатах у напруженнях полягає у відшуканні трьох функцій і , за допомогою трьох рівнянь: двох рівнянь рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3) при обов'язковому задоволенні умов на поверхні.

Аналогічно тому, як було зроблено при рішенні плоскої задачі в декартових координатах, рішення в полярних координатах можна звести до відшукання однієї функції напружень . Виберемо цю функцію так, щоб напруження виражалися через неї в такий спосіб:

(4.24)

Підставляючи ці вирази в рівняння рівноваги (4.1), переконуємося, що при відсутності об'ємних сил останні обертаються в тотожності. Щоб перетворити рівняння нерозривності деформацій (4.3), складемо почленно формули для нормальних напружень (4.24)

.

Права частина цієї суми представлена оператором Лапласа над функцією . Отже,

і з рівняння (4.3) одержуємо

,або (4.25)

У розгорнутому виді рівняння нерозривності деформацій (4.25) записується в такий спосіб:

(4.26)

Таким чином, функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах також повинна бути бігармонічною.

Приймаємо якусь функцію ϕ:

Приймаємо,що дана функція задовольняє граничним умовам і бігармонічному рівнянню.

Запишемо оператор Лапласа в полярній системі координат:

Вирази для напружень в полярній системі координат:

 

Підставивши функцію і знайшовши похідні,ми отримаємо:

 

Граничні умови: ;

Підставляємо граничні умови у  і виражаємо значення А:

=0

Тоді,в кінцевому випадку отримаємо:

 

Розглянемо клин довжиною  та знайдемо момент відносно точки О:

dT=dS = d

Звідси виражаємо В:

Тоді ,підставивши,значення А і В отримаємо:

 

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 337;