Розрахунок тонкостінних резервуарів. Вивести формулу Лапласа.
Розглянемо резервуар, що представляє собою
осесиметричну оболонку з товщиною стінки h , навантажену
внутрішнім тиском p .
Меридіональні перерізи оболонки представляють собою
плавні криві без зламів. Перерізи, перпендикулярні осі, – кола.
Край оболонки закріплено так, що в перерізі діють тільки
нормальні напруження.
Зі стінки резервуара виділимо елемент ABCD двома
площинами, що проходять через меридіани, і двома конічними
поверхнями, що пересікають оболонку вздовж паралелей AB ,
CD.
Позначимо:
1 OO – нормаль до
елемента.;
O– центр елемента;
m t ρ ,ρ – радіуси кривизни оболонки в
меридіональному і тангенціальному напрямках.
Прикладемо до елемента зовнішні і
внутрішні сили і запишемо рівняння рівноваги:
сума проекцій сил на нормаль O O 1 дорівнює
нулю:
Поділивши на , одержимо рівняння Лапласа:
6. Плоска задача теорії пружності, розв’язок плоскої задачі в напруженнях, ф-ція напруження Ері.
Розв’язання плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їхніх елементи працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскій задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, що по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основам, і рівномірно розподіленими по товщині (рис)
|
|
Розвяхок плоскої задачі в напруженнях
При похідні від них будуть=0.
Функція Ері
Розрахунок нескінченного клина на дію зосередженого моменту
Рішення плоскої задачі в полярних координатах у напруженнях полягає у відшуканні трьох функцій і , за допомогою трьох рівнянь: двох рівнянь рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3) при обов'язковому задоволенні умов на поверхні.
Аналогічно тому, як було зроблено при рішенні плоскої задачі в декартових координатах, рішення в полярних координатах можна звести до відшукання однієї функції напружень . Виберемо цю функцію так, щоб напруження виражалися через неї в такий спосіб:
(4.24) |
Підставляючи ці вирази в рівняння рівноваги (4.1), переконуємося, що при відсутності об'ємних сил останні обертаються в тотожності. Щоб перетворити рівняння нерозривності деформацій (4.3), складемо почленно формули для нормальних напружень (4.24)
.
Права частина цієї суми представлена оператором Лапласа над функцією . Отже,
і з рівняння (4.3) одержуємо
,або (4.25)
У розгорнутому виді рівняння нерозривності деформацій (4.25) записується в такий спосіб:
|
|
(4.26) |
Таким чином, функція напружень для плоскої задачі в полярних координатах також повинна бути бігармонічною.
Приймаємо якусь функцію ϕ:
Приймаємо,що дана функція задовольняє граничним умовам і бігармонічному рівнянню.
Запишемо оператор Лапласа в полярній системі координат:
Вирази для напружень в полярній системі координат:
Підставивши функцію і знайшовши похідні,ми отримаємо:
Граничні умови: ;
Підставляємо граничні умови у і виражаємо значення А:
=0
Тоді,в кінцевому випадку отримаємо:
Розглянемо клин довжиною та знайдемо момент відносно точки О:
dT=dS = d
Звідси виражаємо В:
Тоді ,підставивши,значення А і В отримаємо:
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 612; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!