Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.



Чтобы найти уравнение изогнутой оси балки V(х) воспользуемся зависимостью, связывающей радиус кривизны нейтрального слоя балки  с изгибающим моментом М(х) в том же сечении: .

Е- модуль упругости 1го рода.

- осевой момент инерции относительно оси z.

- изгибная жесткость.

Из математики известно, что следующее выражение кривизны кривой: .

V=V(x)- уравнение кривой (изогнутой оси балки).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки: .

Т.к. V’=q, а при малых прогибах q<<1, то в знаменателе левой части уравнения можно пренебречь величиной.

Знак + или – зависит от принятого направления оси у. Если ось у направлена вверх, то приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки можно записать в следующем виде: .М(х)- выражение изгибающего момента в произвольном сечении балки.

Метод непосредственного интегрирования.

и условий стыковки участков.

*

Алгоритм решения:

1.Вводится система координат. Начало координат- крайняя левая точка расчетной схемы.

2.Определяются опорные реакции с проверкой.

3.Балка разбивается на грузовые участки. Отсчет участков ведется всегда слева. Для всех участков координата х отсчитывается от одной точки (начало системы координат).

4.Для каждого участка записываются уравнения изгибающего момента М(х) и поперечной силы Q(x).

5.Для каждого участка записывается приближенные дифференциальные уравнения изогнутой оси балки.

В первый раз берем интеграл, получаем уравнение углов поворота для каждого участка.

.

Второй раз берем интеграл, получаем уравнение прогибов для каждого участка.

.

6.Используя условие закрепления балки * для каждого участка определяем постоянные интегрирования  и .

Физический смысл постоянных интегрирования: С- угол поворота поперечного сечения балки в начале координат. D- прогиб балки в начале координат.

Граничные условия и условия стыковки образуют систему 2n дополнительных уравнений с 2ми n неизвестной постоянной C и D. n-число грузовых участков. Решая составленную систему дополнительных уравнений можно определить все 2n неизвестные.

Рационально использовать метод, когда балка имеет небольшое количество грузовых участков.

Правило: В методе особым случаем является приложение распределенной нагрузки q. Если q не доходит до конца расчетной схемы, то необходимо ее продолжить до конца балки. При этом несуществующая часть нагрузка уравновешивается нагрузкой обратного направления.

Определение перемещений при изгибе. Метод начальных параметров. Универсальное уравнение изогнутой оси балки.

При прямом поперечном изгибе все внешние силы изгибающие балку располагаются в одной из главных плоскостей инерции тела (yox, zox) и направлены ^ продольной оси стержня (ось х). При такой деформации продольная ось балки искривляется, образуя плоскую кривую, плоскость которой совпадает с той же главной плоскостью инерции балки (yox, zox). Эта искривленная ось носит название изогнутой оси балки, или упругой линии балки. При прямом изгибе в какой области действуют внешние силы, в той же плоскости прогибается балка.

Введем систему координат: х -продольная ось, у,z- поперечная, ось у направлена вверх. Начало координат крайняя левая точка.

V- вертикальное перемещение (прогиб). U- горизонтальное перемещение. q-угол поворота поперечного сечения балки.

Т.к. вертикальное перемещение балки V<<U, то в расчетах горизонтальными перемещениями пренебрегают. И когда говорят, что необходимо найти перемещение при прямом изгибе это значит необходимо определить прогиб v и угол поворота q поперечного сечения балки.

Для выбранной системы координат введем следующее правило знаков:

Прогиб V считается +, если он совпадает с положительным направлением оси y (направлен вверх). Угол поворота поперечного сечения q считается +, если поперечное сечение балки поворачивается против часовой стрелки.

Искомые перемещения V и q связанны соотношением: q»tgq=

Таким образом, уравнение углов поворота q(х) можно получить, если взять дифференциал от уравнения изогнутой оси балки V(x).


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 869;