Определение опорных реакций статически определимой балки. Построение эпюр



    Для статически определимой стальной балки требуется:

1) Построить эпюры поперечных сил Q и момент изгибающих М, эпюру прогибов;

2) Подобрать стальную балку двутаврового сечения, если . Проверить прочность выбранной балки по касательным напряжениям при . Определить значение нормального и касательного напряжения в т. К, расположенной на расстоянии от 0-ой линии сечения а-а двутавровой балки;

3) Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечения а-а.      

Дано:

Рисунок 11 – Расчетная схема

 

.

    Определяем опорную реакцию из условия равновесия. Запишем сумму моментов относительно точки А:

......................................................................................... (128)

;(129)

.(130)

    Отсюда получим значение реакции опорRB:

 кН. (131)

    Определяем опорную реакцию из условия равновесия. Запишем сумму моментов относительно точки В:

......................................................................................... (132)

;(133)

.(134)

    Отсюда получим значение реакции опорRА:

 кН. (135)

Для проверки полученных значений запишем сумму всех сил на ось Y:

;(136)

.                        (137)

0=0, реакции определены верно.

2) Определяем Q и M на каждом участке. Для этого применим метод сечений.

Сечение 1 (Рисунок 12):

Рисунок 12 – Сечение 1

 

0 ≤ х1 ≤ 4 м

; (138)

; (139)

; (140)

. (141)

Сечение 2 (Рисунок 13)

Рисунок 13 – Сечение 2

 

0 ≤ х2 ≤ 4 м

; (142)

; (143)

.                 (144)

Определим точку, в которой Q2 = 0. Приравняем уравнение (142) к нулю. Получим:

; (145)

. (146)

Для нахождения момента запишем сумму моментов относительно центра тяжести сечения 2:

;(147)

;(148)

;(149)

.(150)

Сечение 3 (Рисунок 14):

Рисунок 14 – Сечение 3

 

0 ≤ х3 ≤ 2 м

; (151)

Для нахождения момента запишем сумму моментов относительно центра тяжести участка 3:

; (152)

; (153)

.(154)

Сечение 4 (Рисунок 15)

Рисунок 15 – Сечение 4

 

0 ≤ х4 ≤ 2 м

;                      (155)

Для нахождения момента запишем сумму моментов относительно центра тяжести сечения4:

;(156)

;(157)

.(158)

По найденным значениям построим эпюры Q и M (Рисунок 21).

3) Находим опасное сечение. Опасное сечение возникает там, где максимален изгибающий момент:

;(159)

. (160)

Подберём прямоугольное сечение для балки.

Рисунок 16– Прямоугольное сечение

 

    . (161)

    Для прямоугольного сечения h=2b, тогда:

    ; (162)

    Wтр = Wy, тогда:

    ; (163)

    . (164)

    Найдём требуемую высоту сечения h:

    . (165)

    Найдём площадь прямоугольного поперечного сечения:

    . (166)

Подберём квадратное сечение для балки.

Рисунок 17 – Квадратное сечение

 

    ; (167)

    ; (168)

    ; (169)

    ; (170)

    . (171)

Подберём круглое сечение для балки.

Рисунок 18 – Круглое сечение

 

    ; (172)

    м; (173)

    м2. (174)

Подберём кольцевое сечение для балки:


Рисунок 19 – Кольцевое сечение

 

    см3; (175)

   

    см; (176)

    ; (177)

см2. (178)

Подберём двутавровое сечение для балки:

Согласно ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 24. Для которого Wy=289 см3, t=0,95 см, b=11,5 см, Qmax=27,3 кН, Yy=3460 см4, d=0,56 см, Sy=Smax=163, h=24 см.

 

Рисунок 20 – Двутавровое сечение

 

Площадь сечения Aдв = 34,8

       Выбираем наиболее рациональную форму сечения по расходу материала. Для этого сравниваем площади всех подобранных сечений:

    ; (179)

; (180)

; (181)

. (182)

Наиболее рациональной формой сечения балки (балкой с наименьшим весом) является двутавровое сечение, наименее – круглое поперечное сечение. У двутаврового сечения большая часть площади поперечного сечения расположена как можно дальше от нейтральной оси, у круглого сечения большая часть расположена на нейтральной оси.

4) Проверим прочность выбранной балки по касательным напряжениям при :

;                                                   (183)

22,9 МПа<100 МПа.                                                                                       (184)

Прочность обеспечена.

5) Определим значение нормального напряжения в точке К, расположенной на расстоянии z=  =  от нейтральной оси у в сечении а-а.

Учитывая, что изгибающий момент Ма-а вызывает сжатие верхних волокон балки, для точки К получаем:

                                                              (185)

6) Определим значение касательного напряжения в т.К сечения а-а. Поперечная сила в сечении Q=28 кН.

Для определения касательного напряжения в т.К проведем через эту точку прямую в-в, параллельную нейтральной оси У. Затем определим статический момент S части сечения, отсеченной прямой в-в, относительно У.

За отсеченную можно принимать как часть сечения, расположенную выше прямой в-в, так и часть, расположенную ниже этой прямой.

Для верхней части:

см3;                                                            (186)

 МПа.                                 (187)

7) Построим эпюру нормальных напряжений в сечении а-а. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.

В точках нейтральной оси У нормальные напряжения возникают в крайних точках поперечного сечения, причем в верхних точках сжимающие, а в нижних растягивающие.

 МПа.                                           (188)

Эпюра показана на рисунке

8) Построим эпюру касательных напряжений в сечении а-а двутавровой балки.

Для этого определим касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки.

В верхней точке 1 касательные напряжения =0, так как вся площадь поперечного сечения расположена ниже этой точки, а поэтому статический момент S относительно оси у равен нулю.

В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра:

МПа.     (189)

Между точками 1 и 2 направления  изменяются по квадратной параболе. В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения:

МПа.    (190)

Так как ширина в полке двутавра значительно больше толщины d вертикальной стенки, то эпюра касательных напряжений имеет резкий скачок в уровне, соответствующем нижней грани верхней полки. Ниже точки 3 в стенке двутавра изменяются по закону квадратной параболы. Наибольшие касательные напряжения возникают на уровне нейтральной оси:

МПа.                                                  (191)

Эпюра показана на рис. 21.

Рисунок 21 – Эпюра

 

9) Построим эпюру прогибов. Начальные параметры:

Для точки В:                        

                          (192)

Для точки А: 

                                                           (193)

    Получаем систему из двух уравнений:

                                                            (194)

                                                              (195)

Решая совместно эти уравнения:

                                                                                  (196)

                                                                                       (197)

                                                                                          (198)

Найдем значения y в характерных точках:                                 

0,01226;                                                                                  (199)

0;                                                                                          (200)

                                                                              (201)

                                                                         (202)

                                                                                         (203)

                                                                           (204)

                                                                            (205)

                                                                                          (206)

    Эпюра показана на рис. 22.

Рисунок 22 – Эпюры Q, М и прогибов

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 540;