Определение опорных реакций статически определимой балки. Построение эпюр
Для статически определимой стальной балки требуется:
1) Построить эпюры поперечных сил Q и момент изгибающих М, эпюру прогибов;
2) Подобрать стальную балку двутаврового сечения, если . Проверить прочность выбранной балки по касательным напряжениям при . Определить значение нормального и касательного напряжения в т. К, расположенной на расстоянии от 0-ой линии сечения а-а двутавровой балки;
3) Построить эпюры нормальных и касательных напряжений для сечения а-а.
Дано:
Рисунок 11 – Расчетная схема
.
Определяем опорную реакцию из условия равновесия. Запишем сумму моментов относительно точки А:
......................................................................................... (128)
;(129)
.(130)
Отсюда получим значение реакции опорRB:
кН. (131)
Определяем опорную реакцию из условия равновесия. Запишем сумму моментов относительно точки В:
......................................................................................... (132)
;(133)
.(134)
Отсюда получим значение реакции опорRА:
кН. (135)
Для проверки полученных значений запишем сумму всех сил на ось Y:
;(136)
. (137)
0=0, реакции определены верно.
2) Определяем Q и M на каждом участке. Для этого применим метод сечений.
Сечение 1 (Рисунок 12):
Рисунок 12 – Сечение 1
0 ≤ х1 ≤ 4 м
; (138)
; (139)
; (140)
. (141)
Сечение 2 (Рисунок 13)
Рисунок 13 – Сечение 2
0 ≤ х2 ≤ 4 м
; (142)
; (143)
. (144)
Определим точку, в которой Q2 = 0. Приравняем уравнение (142) к нулю. Получим:
|
|
; (145)
. (146)
Для нахождения момента запишем сумму моментов относительно центра тяжести сечения 2:
;(147)
;(148)
;(149)
.(150)
Сечение 3 (Рисунок 14):
Рисунок 14 – Сечение 3
0 ≤ х3 ≤ 2 м
; (151)
Для нахождения момента запишем сумму моментов относительно центра тяжести участка 3:
; (152)
; (153)
.(154)
Сечение 4 (Рисунок 15)
Рисунок 15 – Сечение 4
0 ≤ х4 ≤ 2 м
; (155)
Для нахождения момента запишем сумму моментов относительно центра тяжести сечения4:
;(156)
;(157)
.(158)
По найденным значениям построим эпюры Q и M (Рисунок 21).
3) Находим опасное сечение. Опасное сечение возникает там, где максимален изгибающий момент:
;(159)
. (160)
Подберём прямоугольное сечение для балки.
Рисунок 16– Прямоугольное сечение
. (161)
Для прямоугольного сечения h=2b, тогда:
; (162)
Wтр = Wy, тогда:
; (163)
. (164)
Найдём требуемую высоту сечения h:
. (165)
Найдём площадь прямоугольного поперечного сечения:
. (166)
Подберём квадратное сечение для балки.
Рисунок 17 – Квадратное сечение
; (167)
; (168)
; (169)
; (170)
. (171)
Подберём круглое сечение для балки.
|
|
Рисунок 18 – Круглое сечение
; (172)
м; (173)
м2. (174)
Подберём кольцевое сечение для балки:
Рисунок 19 – Кольцевое сечение
см3; (175)
см; (176)
; (177)
см2. (178)
Подберём двутавровое сечение для балки:
Согласно ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 24. Для которого Wy=289 см3, t=0,95 см, b=11,5 см, Qmax=27,3 кН, Yy=3460 см4, d=0,56 см, Sy=Smax=163, h=24 см.
Рисунок 20 – Двутавровое сечение
Площадь сечения Aдв = 34,8
Выбираем наиболее рациональную форму сечения по расходу материала. Для этого сравниваем площади всех подобранных сечений:
; (179)
; (180)
; (181)
. (182)
Наиболее рациональной формой сечения балки (балкой с наименьшим весом) является двутавровое сечение, наименее – круглое поперечное сечение. У двутаврового сечения большая часть площади поперечного сечения расположена как можно дальше от нейтральной оси, у круглого сечения большая часть расположена на нейтральной оси.
4) Проверим прочность выбранной балки по касательным напряжениям при :
; (183)
22,9 МПа<100 МПа. (184)
Прочность обеспечена.
5) Определим значение нормального напряжения в точке К, расположенной на расстоянии z= = от нейтральной оси у в сечении а-а.
|
|
Учитывая, что изгибающий момент Ма-а вызывает сжатие верхних волокон балки, для точки К получаем:
(185)
6) Определим значение касательного напряжения в т.К сечения а-а. Поперечная сила в сечении Q=28 кН.
Для определения касательного напряжения в т.К проведем через эту точку прямую в-в, параллельную нейтральной оси У. Затем определим статический момент S части сечения, отсеченной прямой в-в, относительно У.
За отсеченную можно принимать как часть сечения, расположенную выше прямой в-в, так и часть, расположенную ниже этой прямой.
Для верхней части:
см3; (186)
МПа. (187)
7) Построим эпюру нормальных напряжений в сечении а-а. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону.
В точках нейтральной оси У нормальные напряжения возникают в крайних точках поперечного сечения, причем в верхних точках сжимающие, а в нижних растягивающие.
МПа. (188)
|
|
Эпюра показана на рисунке
8) Построим эпюру касательных напряжений в сечении а-а двутавровой балки.
Для этого определим касательные напряжения в некоторых характерных точках поперечного сечения балки.
В верхней точке 1 касательные напряжения =0, так как вся площадь поперечного сечения расположена ниже этой точки, а поэтому статический момент S относительно оси у равен нулю.
В точке 2, расположенной непосредственно над линией, проходящей через нижнюю грань верхней полки двутавра:
МПа. (189)
Между точками 1 и 2 направления изменяются по квадратной параболе. В стенке двутавра в точке 3, расположенной непосредственно под точкой 2, касательные напряжения:
МПа. (190)
Так как ширина в полке двутавра значительно больше толщины d вертикальной стенки, то эпюра касательных напряжений имеет резкий скачок в уровне, соответствующем нижней грани верхней полки. Ниже точки 3 в стенке двутавра изменяются по закону квадратной параболы. Наибольшие касательные напряжения возникают на уровне нейтральной оси:
МПа. (191)
Эпюра показана на рис. 21.
Рисунок 21 – Эпюра
9) Построим эпюру прогибов. Начальные параметры:
Для точки В:
(192)
Для точки А:
(193)
Получаем систему из двух уравнений:
(194)
(195)
Решая совместно эти уравнения:
(196)
(197)
(198)
Найдем значения y в характерных точках:
0,01226; (199)
0; (200)
(201)
(202)
(203)
(204)
(205)
(206)
Эпюра показана на рис. 22.
Рисунок 22 – Эпюры Q, М и прогибов
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!