Интегрирование степенных рядов.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Ряды.

Основные определения.

Введем следующее обозначение суммы:

В этих обозначениях сумму всех натуральных чисел можно записать следующим образом:

а сумма членов последовательности запишется так:

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядоми обозначается:

При этом числа будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Определение. Суммы , n = 1, 2, … называются частичными суммамиряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S₁, S₂, …,S_n, …

Рассмотрим предел этой последовательности:

Определение. Если предел существует и равен конечному числу, то ряд называется сходящимся, а число - суммой ряда. При этом записывают:

Таким образом, ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, а сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Пример. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:

Решение. Напомним, что сумма первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Тогда:

Поскольку если , то ;

если , то ;

если , то . Члены последовательности , стоящие на четных местах, равны нулю:

(значит, стремятся к нулю), а члены последовательности, стоящие на нечетных местах,

равны :

(значит, стремятся к ), и в этом случае нет предела последовательности , так как последовательность может иметь не более одного предела.

Свойства сходящихся рядов.

Теорема 1.(Об отбрасывании конечного числа членов ряда)

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.

Доказательство. Пусть отбрасывают, например, первых членов ряда . При этом получается ряд . Нужно убедиться, что оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Пусть ряд сходится и его сумма равна :

Очевидно: ; ; .

По определению суммы ряда:

Пусть ряд расходится, т.е. или предел не существует. Тогда

, или не существует,

что означает расходимость ряда .

Теорема 2. (Об умножении сходящегося ряда на константу)

Ряды и , где С – постоянное число (C ¹ 0), сходятся или расходятся одновременно, причем в случае сходимости рядов верно следующее: .

Доказательство. Для выяснения сходимости ряда вычислим предел соответствующей последовательности частичных сумм:

Поскольку и C ¹ 0, то оба эти предела существуют и равны конечному числу одновременно.

Теорема 3.(О сумм сходящихся рядов)

Если ряды и сходятся, то ряд тоже сходится, причем:

Поскольку , то если оба предела справа существуют и конечны, то и предел слева существует и тоже конечен. Кроме того, в случае, если , то и , и выполняется равенство:

Следствие. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают, в основном, две задачи: исследование ряда на сходимость и отыскание суммы ряда.

Сформулируем без доказательства необходимые и достаточные условия сходимости ряда - критерий Коши:

Теорема. Ряд сходится тогда только тогда, когда для любого существует номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполняется: , т.е.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости.

Теорема. (Необходимый признак сходимости).

Если ряд сходится, то общий член ряда u_n стремится к нулю:

Доказательство. Поскольку

то

Пусть ряд сходится, тогда предел последовательности его частичных сумм существует и конечен:

Тогда

Замечание. Стремление к нулю общего члена ряда не является достаточным условием сходимости ряда.

Пример. Общий член гармонического ряда стремится к нулю, но ряд расходится, поскольку для него не выполняется критерий Коши сходимости рядов при :

Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим необходимый признак сходимости рядов: - необходимый признак сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Теорема. (Первый (мажорантный) признак сравнения).

Если u_n £ v_n при любом n, то

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ,

2) из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. 1) Пусть . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то для него выполняется критерий сходимости Коши:

Т.к. , то

Таким образом, согласно критерию Коши сходимости ряда, ряд сходится.

2) Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то согласно пункту 1) должен сходиться и ряд , а он расходится, значит, ряд сходиться не может.

Теорема. (Второй (предельный) признак сравнения.)

Если и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела:

Так как , то

Если ряд сходится, то по теореме об умножении сходящегося ряда на константу, сходится ряд и по первому признаку сравнения, сходится ряд .

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по первому признаку сравнения, сходится ряд , а по теореме об умножении сходящегося ряда на константу, сходится ряд - противоречие, значит, ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Признак Даламбера.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Теорема. Пусть - ряд с положительными членами, и то:

1) если то ряд сходится,

2) если то ряд расходится;

3) если то ответ на вопрос о сходимости ряда признак не дает.

Доказательство. Пусть . В силу свойства плотности действительных чисел, найдется число , такое, что

По определению предела,

т.е. все члены последовательности , с номерами, большими или равными , находятся в -окрестности точки :

В частности, это верно для :

Таким образом, для номеров все члены последовательности меньше :

Напомним, что , тогда

Итак:

Просуммируем полученные неравенства:

или

Выражение есть сумма бесконечно убывающей (поскольку ) геометрической прогрессии, поэтому ряд сходится, значит, сходится ряд . По первому признаку сравнения, сходится ряд , а по теореме об отбрасывании конечного числа членов ряда, сходится ряд , что и требовалось доказать.

Пусть . В силу свойства плотности действительных чисел, найдется число , такое, что

, или

По определению предела,

т.е. все члены последовательности , с номерами, большими или равными , находятся в -окрестности точки :

В частности, это верно для :

Таким образом, для номеров все члены последовательности больше1:

, или .

Итак, для члены ряда возрастают, являясь положительными числами, т.о. общий член ряда не стремится к нулю, поскольку нарушается необходимый признак сходимости ряда. Итак, ряд расходится.

Покажем, что при ряд может как сходиться, так и расходиться.

Известно, что гармонический ряд , для членов этого ряда верно :

С другой стороны, для членов ряда тоже выполняется :

Однако ряд :

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Поскольку , то

значит, ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Поскольку , то

значит, ряд сходится.

Интегральный признак (Коши).

Теорема. Если – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Функция , удовлетворяющая условиям теоремы, должна иметь график следующего вида:

Приблизим площадь под графиком функции с недостатком и с избытком:

Перейдем к пределу при

Если ряд сходится, то и . Тогда:

т.е. интеграл сходится.

Обратно, если интеграл сходится, то

т.е. , что означает сходимость ряда .

Пример. Ряд называется обобщенно-гармоническимрядом.

Ряд сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a>1 и расходится a£1:

Признак Коши (радикальный признак).

Теорема. Пусть - ряд с положительными членами, и то:

4) если то ряд сходится,

5) если то ряд расходится;

6) если то ответ на вопрос о сходимости ряда признак не дает.

Доказательство. Пусть . В силу свойства плотности действительных чисел, найдется число , такое, что

По определению предела,

т.е. все члены последовательности , с номерами, большими или равными , находятся в -окрестности точки :

В частности, это верно для :

Таким образом, для номеров все члены последовательности меньше :

или

Итак, для выполняется:

Просуммируем полученные неравенства:

или

Выражение есть сумма бесконечно убывающей (поскольку ) геометрической прогрессии, поэтому ряд сходится, значит, по первому признаку сравнения, сходится ряд , а по теореме об отбрасывании конечного числа членов ряда, сходится ряд , что и требовалось доказать.

Пусть . В силу свойства плотности действительных чисел, найдется число , такое, что

, или

По определению предела,

т.е. все члены последовательности , с номерами, большими или равными , находятся в -окрестности точки :

В частности, это верно для :

Таким образом, для номеров все члены последовательности больше1:

, или ,

т.о. общий член ряда не стремится к нулю, поскольку нарушается необходимый признак сходимости ряда. Итак, ряд расходится.

Покажем, что при ряд может как сходиться, так и расходиться.

Известно, что гармонический ряд , для членов этого ряда верно .

Лемма. Верно следующее:

Доказательство леммы. Вычислим указанный предел:

Применим правило Лопиталя:

Таким образом,

Итак, ряд , но для его членов верно: .

С другой стороны, для членов ряда тоже выполняется :

Однако ряд по интегральному признаку сходимости:

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Коши:

Вывод: ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Коши:

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимого признака (необходимых условий) сходимости ряда.

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и то интегралы и ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница.

Если - знакочередующийся ряд, причем:

1) общий член ряда стремится к нулю: ,

2) , т.е. абсолютные величины членов ряда убывают, по крайней мере, для всех номеров, начиная с некоторого номера

то ряд сходится.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда:

В силу условия 1) теоремы, выражения в скобках положительны, значит, с ростом частичные суммы увеличиваются, т.к. с увеличением номера добавляются положительные слагаемые.

С другой стороны:

Напомним, что все выражения в скобках положительны, таким образом, .

Итак, последовательность частичных сумм ряда возрастает и ограничена сверху, значит, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел:

т.е. ряд сходится.

Следствие. В доказательстве теоремы был установлен факт:

По свойству пределов:

т.е. сумма знакочередующегося ряда не больше модуля его первого члена.

Рассмотрим выражение

Выражение, стоящее под знаком модуля есть знакочередующийся ряд. Тогда с учетом вышесказанного,

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Определение. Если сходится ряд из абсолютных величин знакопеременного ряда, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Если сходящийся знакопеременный ряд абсолютно не сходится, то говорят, что он сходится условно.

Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство. Пусть сходится ряд . Тогда для него выполняется критерий сходимости Коши:

По свойству абсолютных величин:

Следовательно,

т.е. для знакопеременного ряда выполняется критерий сходимости Коши, значит исходный знакопеременный ряд сходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов (без доказательства).

1) Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

4) Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

5) При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

6) Если ряды и сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S×s - произведению сумм перемножаемых рядов.

7)При перемножении условно сходящихся рядов в результате можно получить расходящийся ряд.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

1) Исследуем наличие абсолютной сходимости. Для этого рассмотрим ряд - ряд с положительными членами. Поскольку

то по второму признаку сравнения, ряды и ведут себя одинаково: расходятся, поскольку ряд расходится как обобщенно-гармонический с показателем . Итак, ряд расходится, значит, ряд не сходится абсолютно.

2) Исследуем наличие условной сходимости. Применяя признак Лейбница, проверим, сходится ли ряд .

· Стремление к нулю общего члена ряда:

;

· Убывание абсолютных величин членов ряда, по крайней мере, для всех номеров, начиная с некоторого номера :

Тогда:

Итак, для рассматриваемого ряда выполняется признак Лейбница, значит, ряд сходится условно.

Функциональные последовательности.

Определение. Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным:

Исследование на сходимость функциональных рядов сложнее исследования числовых рядов. Один и тот же функциональный ряд может при одних значениях переменной х сходиться, а при других – расходиться. Поэтому вопрос сходимости функциональных рядов сводится к определению тех значений переменной х, при которых ряд сходится.

Совокупность таких значений называется областью сходимости.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

Функциональные ряды.

Определение. Ряд, члены которого являются функциями от х, называется функциональным.

Ряд - функциональный.

При подстановке вместо различных чисел получаются различные числовые ряды:

при получаем ряд , который расходится;

при получаем сходящийся ряд , т.к. по признаку Коши

и т.д.

Определение. Совокупность таких значений , при которых ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда называются функции

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х₀), если в этой точке сходится последовательность его частичных сумм. Предел последовательности называется суммойряда в точке х₀.

Напомним, что последовательность {f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на отрезке [a,b], если для любого числа e>0 существует номер N = N(e), такой, что неравенство

выполняется при n>N для всех точек отрезка [a,b].

Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд мажорируетсячисловым рядом .

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как всегда, то очевидно, что .

При этом известно, что обобщенно-гармонический ряд при сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. На отрезке [-1,1] выполняется неравенство т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 1.(О непрерывности суммы ряда)

Если члены ряда - непрерывные на отрезке [a,b] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S(x) есть непрерывная функция на отрезке [a,b].

Теорема 2. (О почленном интегрировании ряда.)

Равномерно сходящийся на отрезке [a,b] ряд с непрерывными членами можно почленном интегрировать на этом отрезке, т.е. ряд, составленный из интегралов от его членов по отрезку [a,b] , сходится к интегралу от суммы ряда по этому отрезку.

Теорема 3.(О почленном дифференцировании ряда.)

Если члены ряда сходящегося на отрезке [a,b] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных , сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На основе того, что сумма ряда является некоторой функцией от переменной х, можно производить операцию представления какой – либо функции в виде ряда (разложения функции в ряд), что имеет широкое применение при интегрировании, дифференцировании и других действиях с функциями.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Степенные ряды.

Определение. Степенным рядомназывается ряд вида

Ряд можно привести к виду заменой .

Теоремы Абеля.

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема.

1) Если степенной ряд сходится при , то он сходится и притом абсолютно для всех .

2) Если при х = х₁ ряд расходится, то он расходится для всех .

Доказательство. 1) По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:

из которого следует, что при численные величины членов нашего ряда будут не больше соответствующих членов ряда правой части записанного выше неравенства, которые образуют геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно, ряд сходится. По первому признаку сравнения получаем, что ряд сходится, что означает, то ряд сходится абсолютно.

Таким образом, если степенной ряд сходится в точке х₁, то он сходится абсолютно в любой точке интервала длины 2 с центром в точке х = 0.

Пусть ряд расходится при и пусть .

Если ряд сходится в точке , то по части 1) теоремы, ряд должен сходиться при всех , в том числе и в точке , - противоречие. Значит, ряд не может сходиться в точке .

Таким образом, для каждого степенного ряда существует такое положительное число R, что при всех х таких, что ряд абсолютно сходится, а при всех ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимости. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Вопрос о сходимости ряда в каждой конкретной точке решается с помощью признака Даламбера:

Согласно признаку Даламбера, ряд сходится, если . Таким образом, ряд сходится при , и согласно теореме Абеля, расходится при .

Теперь определим сходимость в граничных точках и .

При ряд имеет вид: . Это знакочередующийся ряд.

1) Исследуем его на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд . Это гармонический ряд и он расходится. Значит, ряд не сходится абсолютно.

2) Проверим выполнение признака Лейбница:

a) ;

b) .

Все условия признака Лейбница выполнены, т.о. ряд сходится условно.

При ряд примет вид - это расходящийся ряд.

Действия со степенными рядами.

Интегрирование степенных рядов.

Если некоторая функция f(x) определяется степенным рядом: , то интеграл от этой функции можно записать в виде ряда:

2) Дифференцирование степенных рядов.

Производная функции, которая определяется степенным рядом, находится по формуле:

3) Сложение, вычитание, умножение и деление степенных рядов.

Сложение и вычитание степенных рядов сводится к соответствующим операциям с их членами:

Произведение двух степенных рядов выражается формулой:

Коэффициенты с_i находятся по формуле:

Делениедвух степенных рядов выражается формулой:

Для определения коэффициентов q_n рассматриваем произведение , полученное из записанного выше равенства и решаем систему уравнений:

Разложение функций в степенные ряды.

При рассмотрения функциональных рядов мы обнаружили, что некоторые функции (а именно, суммы функциональных рядов) представимы функциональными рядами: . Возникает вопрос, какой должна быть функция, чтобы ее можно было представить в виде ряда? При исследовании этого вопроса был доказан ряд теорем.

Теорема. (Тейлор)

Если функция разложима в степенной ряд в окрестности некоторой точки , т.е. если , то .

Доказательство. Пусть в окрестности некоторой точки выполняется:

Тогда:

…

Что и требовалось установить.

Теорема утверждает, что если функция разложима в степенной ряд в окрестности некоторой точки, то этот ряд определен единственным образом.

Определение. Ряд называется рядом Тейлорадля функции , а коэффициенты - коэффициентами Тейлора для функции .

Итак, если функция бесконечно дифференцируема в окрестности некоторой точки , то для нее можно формально составить ряд Тейлора. Требуется исследование, сходится ли построенный ряд, и равна ли сумма ряда исходной функции .

Теорема. (об ограниченности производных)

Если в точке все производные функции ограничены в совокупности для , т.е.

то функция является суммой своего ряда Тейлора.

Доказательство. Пусть . Напомним, что

где . Тогда

Ряд сходится по признаку Даламбера:

Значит, для этого ряда выполняется необходимое условие сходимости: , т.е. , из чего по теореме о необходимом условии сходимости ряда Тейлора, следует, что функция является суммой своего ряда Тейлора что и требовалось доказать.

Таким образом, алгоритм разложения функции в ряд Тейлора следующий:

1) Вычислить -ые производные функции в точке и составить формально ряд Телора.

2) Найти область сходимости полученного ряда.

3) Проверить ограниченность в совокупности всех производных функции в точке .

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Найдем производные функции и формально составим ряд Маклорена:

· Очевидно, все нечетные производные функции в точке равны нулю, поэтому останутся только слагаемые с четными степенями .

· Все производные четного порядка по модулю равны 1, а их знаки чередуются.

Тогда ряд Маклорена

принимает вид:

Найдем область сходимости полученного ряда. По признаку Даламбера:

Т.е. .

Очевидно, производные функции ограничены в совокупности:

Таким образом, функция является суммой своего ряда Маклорена:

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Найдем производные функции и формально составим ряд Маклорена:

· Очевидно, все четные производные функции в точке равны нулю, поэтому останутся только слагаемые с четными степенями .

· Все производные нечетного порядка по модулю равны 1, а их знаки чередуются.

Тогда ряд Маклорена

принимает вид:

Найдем область сходимости полученного ряда. По признаку Даламбера:

Т.е. .

Очевидно, производные функции ограничены в совокупности:

Таким образом, функция является суммой своего ряда Маклорена:

Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Найдем производные функции и формально составим ряд Маклорена:

Ряд Маклорена

принимает вид:

Найдем область сходимости полученного ряда. По признаку Даламбера:

Т.е. .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

- знакочередующийся ряд.

1) Исследуем наличие абсолютной сходимости: ряд сходится по признаку Даламбера:

2) тт

Производные функции ограничены в совокупности:

Таким образом, функция является суммой своего ряда Маклорена:

Следствие. При в окрестности нуля имеем:

Таким образом:

Существует также способ разложения в степенной ряд при помощи алгебраического деления. Это – самый простой способ разложения, однако, пригоден он только для разложения в ряд алгебраических дробей.

Пример. Разложить в ряд функцию .

Суть метода алгебраического деления состоит в применении общего правила деления многочленов:

1 1 - x

1 – x 1 + x + x² + x³ + …

x – x²

x²

x² – x³

x³

……….

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1124; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!