Логистис.модель для динамики популяции

Общ.понятие и принципы сист.анал.

Совокупность таких общих подходов описывается в рамках единой теории – теории систем.

Общая теория, изучающая сложные взаимосвязи между элементами объективной реальности, носит название теории систем.

Применение общей теории систем к изучению реальных систем открывает путь к созданию математических моделей, описывающих различные системы в терминах математических уравнений.

Совокупность методов изучения реальных систем с использованием математических моделей называется системным анализом.

Изучаемые объекты в теории систем относят к понятию система.

Система – это часть объективной реальности, ограниченная рядом условий. Она состоит из более мелких единиц, элементов, связанных между собой различными отношениями.

Все, что находится за пределами системы, называется окружающей средой. Система и окружающая среда разделены оболочкой – границей системы.

Элементы системы могут быть связаны один с другим различными отношениями.

Понятия слож.и экол.сис-м

Основным объектом исследований в экологии являются экосистемы, которые относятся к разряду сложных систем. Сложные системы характеризуются следующие свойствами:

1.Сложность. Различают статическую (структурную) и динамическую сложность. Структурная сложность заключается в том, что количество и разнообразие элементов и видов связей между элементами системы, а также между системой и окружающей средой, очень велико.

2. Целостность. Свойства системы не являются простой суммой свойств элементов. Система может иметь отличные от свойств отдельных элементов свойства, которые становятся явными только в результате взаимодействия ее отдельных элементов.

3. Многомерная устойчивость. Это способность системы поддерживать свою структуру более или менее стабильной на протяжении некоторого отрезка времени. Так, устойчивость для экосистем – это сохранение числа видов и их количественного соотношения в данном сообществе.

4. Наблюдаемость. Информацию о предыдущем состоянии системы можно получить исходя из ее нынешнего состояния.

5. Управляемость. Система может переходить из одного состояния в другое в течение определенного промежутка времени. Система называется управляемой, если на нее можно оказывать целенаправленное воздействие.

При моделировании на основе внутреннего описания систем анализируется их структура. Структура экосистем характеризуется:

1 – физическими условиями (деление пространства, световые и энергетические условия), химическими условиями;

2 – биологическими условиями (трофический уровень, экологические спектры);

3 – временной структурой (сукцессии и эволюция системы).

Анализ структуры системы позволяет выделить основные элементы системы, количественные характеристики которых следует включить в математическую модель. Связи между элементами экосистем, а также между экосистемой и окружающей средой, определяются циркуляцией вещества, энергии и информации.

При анализе системы для количественного выражения переноса вещества и энергии вводятся различные переменные:

U1- переменные состояния

xi-входные переменные (биологические, химические, метеорологические условия, географическое положение

di-возмущающие перемен.( случайные воздействия окружающей среды)

Мат.моделир.реальных систем

Математическое моделирование систем начинается с выбора реальной системы. К реальным системам в экологии относятся – водоем, лесная экосистема, воздушная среда города, экономика города и т.п. Выбор системы для моделирования зависит от множества причин – объективных и субъективных.

После того, как поставлена цель – моделирование той или иной реальной системы, первым этапом становится изучение системы. Он включает в себя сбор предварительной информации о моделируемой системе: результаты предыдущих исследований, постановка собственных экспериментов. Выполнение первого этапа приводит к созданию вербальной модели – словесной модели исследуемой системы.

Следующим важным этапом становится создание математической модели системы. Оно начинается с математической формализации.

Это – представление в виде математических переменных количественных характеристик элементов системы (численность популяции, концентрация загрязнений, скорость жидкости в водоеме, количество продукции).

Математическую формализацию и создание математической модели можно определить как два шага – анализ и синтез.

Математическая модель – уравнение или система уравнений на основе выражения связей переменных через законы сохранения (балансовые соотношения) или гипотез (предположения о функционировании элементов системы).

Математические модели в экологии характеризуются комбинацией уравнений, выражающих физические законы о взаимодействии элементов в системе, и математических гипотез о характере зависимости динамики экологических переменных от различных процессов.

Большинство математических моделей реальных экосистем представляет собой систему из нескольких уравнений (например, дифференциальных). После реализации математической модели – создания собственной компьютерной программы.

Помимо математического моделирования для изучения реальных систем может применяться также и так называемое “физическое” моделирование, под которым подразумевают полевые эксперименты и лабораторные опыты. Примером физического моделирования являются обтекание моделей самолетов и зданий в аэродинамических трубах, опыты с различными видами животных и растений в лабораториях.

В результате экспериментов фиксируются различные количественные характеристики системы, изменяемые во времени и пространстве. Получаемые при этом результаты дают точные знания о системе. В этом заключается основное преимущество физического моделирования.

Недостатком физического моделирования является то, что эксперимент не дает полной информации о внутреннем состоянии системы,на помощь приходит теория или математическая модель. Математическое моделирование реальной системы выявляет роль различных процессов, позволяет прогнозировать поведение системы и проверять множество различных сценариев жизни системы.

Этапы модел.экол.сис-м

Первые математические модели учитывали закономерности естественного развития экологических систем. В дальнейшем появились модели техносферы и модели, учитывающие антропогенное воздействие на компоненты планетарной экосистемы с проведением численных экспериментов и формированием качественных и количественных прогнозов. Модели стали базироваться на массовых данных динамического контроля, которые в той или иной степени отвечали требованиям пространственно-временной, качественной и количественной репрезентативности.

I этап. Постановка задачи. Описание задачи, цель моделирования, анализ объекта.

Методы экологического моделирования можно условно разделить на физические и математические. При физическом моделировании изучаемое явление воспроизводится в том или ином масштабе с сохранением его физической природы. Математическое моделирование представляет собой способ исследования экологических явлений путем изучения процессов, имеющих различное физическое содержание, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями.

II этап.Разработка модели.Уточненная постановка задачи. Информационная, математическая, компьютерная модель.

III этап. Компьютерный эксперимент.План моделирования.

Проверить правильность ввода формул.
Провести расчеты.
По результатам расчетов построить общую диаграмму.

Технология моделирования.

Ввести свои данные и скопировать формулы в нижестоящие ячейки в обозримом пространстве экрана.
Выделить расчетные столбцы и построить диаграмму.

IV этап. Анализ результатов моделирования

Характер.мат.модели

Математические модели, применяемые в математической экологии, можно разделить на различные типы. Различают детерминированные, стохастические и эмпирико–статистические модели. Детерминированные математические модели основаны на внутреннем описании системы и выражают собой связи между компонентами системы (модель Мальтуса). Математические модели, включающие в себя случайные функции, относятся к стохастическим. Эмпирико–статистические модели используют эмпирическую информацию о системе для построения функциональных зависимостей (регрессионных моделей) между входными и выходными переменными системы. При построении эмпирико–статистических моделей применяются методы математической статистики.

Модели, учитывающие изменение переменных системы во времени, называются динамическими. Стационарные модели описывают состояние системы без учета временной зависимости. Математические модели могут описывать однородные и неоднородные по пространству процессы. Различают также непрерывные и дискретные математические модели. Непрерывные модели описывают изменение переменных системы в любой момент времени в рассматриваемом интервале. Дискретные модели дают значения переменных системы в дискретные промежутки времени. По способу получения и виду решения можно разделять аналитические и численные модели. В случае, когда уравнения модели могут быть разрешены в аналитическом виде, т.е. получаются явные функции для выходных переменных, их называют аналитическими моделями. Но круг таких моделей ограничен, большинство реальных математических моделей не допускает получения аналитического решения. В этом случае решение уравнений модели достигается на основе численных методов.

Классиф.мат.моделей

По типу применяемых математических методов различают следующие виды моделей:

1. Модели на основе дифференциальных уравнений - Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений, как правило, нужно знать только локальные связи, и не нужна информация обо всем явлении в целом. Такими оказываются различные явления механики сплошной среды, химические реакций, электрические и магнитные явления, процессы в экономике и др. Следует отметить, что именно на основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны, а в 1846 году в результате такого же анализа французский астроном Урбен Леверье (1811–1877) открыл планету Нептун. Математическая модель в виде дифференциальных уравнений в принципе позволяет по состоянию системы в данный (начальный) момент времени определить ее состояние в любой последующий момент. Такие модели описывают динамические системы. Они связывают абстрактные математические теории и естественнонаучные приложения.

2. Разностные модели- В разностных цветовых моделях для создания различных оттенков цвета используются чернила. Чем больше красящего пигмента содержится в чернилах, тем темнее их цвет, а чем темнее цвет чернил, тем меньше света отражается от бумаги, на которую наносятся эти чернила.Разностные модели воспроизведения цвета применяются при многослойной печати с использованием прозрачных чернил голубого (Cyan), пурпурного (Magenta), желтого (Yellow) и черного (Black) цветов (CMYK модель). Нанесение таких чернил в несколько слоев позволяет получать миллионы различных оттенков.Плашечные цвета также являются цветами разностной модели, но они создаются непрозрачными чернилами. Чернила для плашечной печати не смешиваются друг с другом, вместо этого используется множество чернил различных оттенков. При плашечной печати для каждого из оттенков цвета из состава распечатываемого изображения требуется свое собственное цветоделенное клише, или фотоформа.При многослойной печати для воспроизведения всего диапазона оттенков цвета требуются всего четыре клише. Некоторые принтеры используют только цветовые компоненты CMY. На таких принтерах для воспроизведения черного цвета используется смешивание 100% каждого из трех основных цветов. Черный цвет, синтезируемый таким способом, на самом деле не получается столь чистым, как при четырехцветной печати с использованием черных чернил.

3. Матричные модели-балансово-нормативные, они объединяют в единой табличной форме балансы распределения продукции (по отдельным её видам) и увязанные с ними балансы затрат на её производство, а также нормативы материальных и денежных затрат. М. м. используются для экономического анализа и плановых расчётов с применением электронной вычислительной техники.Представленная в графическом виде (см. схему) М. м. экономического объекта имеет вид прямоугольной таблицы, разделённой на 4 четверти (квадранта).

4. Оптимизационные модели- Классические модели принятия решений всегда являются оптимизационными, так как нацелены на максимизацию выгоды или прибыли. Они построены таким образом, чтобы можно было использовать оптимизационный алгоритм и получить оптимальную практическую рекомендацию. Их недостаток заключается в вынужденном упрощении действительности, поскольку определение параметров модели должно быть ориентировано на обеспечение возможности выработки решений. Поэтому полученные рекомендации часто теряют практическую ценность. Тем не менее оптимизационные модели по сравнению с интуитивными умозрительными моделями менеджеров имеют значительные преимущества:1.не допускают логических ошибок, так как могут быть математически проверены на наличие нарушений логики;2.являются бескомпромиссными и не содержат ничего лишнего, сводят проблему к ее сути и содействуют выражению основополагающих взаимосвязей целей и средств.

5. Имитационные модели – модели, построенные на пределе наших знаний об объекте и реализованные на компьютере по блочному принципу.

6. Регрессионные модели – дают функциональные связи между входными и выходными переменными на основе аппроксимации статистических данных, применяются на этапе эмпирико–статистического моделирования

Логистис.модель для динамики популяции

Оценить интегральное влияние первичных и вторичных радиоэкологических эффектов в условиях естественных популяций тяжело, так как они многовекторные и неоднозначные. Единственным показателем состояния популяций в таких условиях может быть общее состояние их численности.

Изучение закономерностей динамики численности животных необходимо для создания научных основ рационального использования полезных животных и борьбы с вредными насекомыми. При этом используются математические методы, в частности, моделирование. Среди моделей динамики популяций в математической экологии наибольшее распространение получила логистическая функция Ферхюльста (1838г.), которая используется для описания как поведения популяций, так и их взаимодействия, например, в модели Лотки-Вольтерра [1]. К недостаткам логистической функции можно отнести ее эвристическое происхождение и неполное отображение потерь.

Поэтому в работе предлагается методология построения математических моделей динамики популяций, справедливая для математического описания объектов различной природы. Теоретической базой построения математических моделей выступает системология.

Эта создании модели:

1) формирование энергетического подхода к аксиоматике системы;
2) составление энергетического уравнения системы;
3) составление уравнения энергетического потенциала системы. Энергетическое уравнение системы отображает энергетический обмен системы со средой на основе законов функционирования системы. В замкнутой относительно энергетического обмена совокупности систем должен выполняться закон сохранения энергии.

1.Полная энергия состоит из основной и дополнительной энергии

2.Система обладает способностью увеличивать полную энергию за счет дополнительной энергии среды. Поток дополнительной энергии пропорционален произведению полной энергии и энергетического потенциала:

Общее логистическое уравнение динамики популяций описываетсянелинейным дифференциальным уравнением:

Для определения рабочих параметров логистической модели динамики популяций необходимо знать характеристики динамики популяций соответствующих видов животных.

при оценке адекватности математических моделей используют неравенство Чебышева:

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 466; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!