Дискретное представление сигналов
Дискретное представление аналогового сигнала s(t)ÎS(t) на интервале Т есть изображение этого сигнала в виде последовательности координат [5]
(2.35)
по значениям которых может быть получена оценка исходного аналогового сигнала.
Дискретное представление и обратное ему преобразование - восстановление исходного сигнала в виде оценки можно записать в общей форме:
s(t); tÎT; (2.36)
( ); tÎT, (2.37)
где - оператор представления;
- оператор восстановления;
T - интервал представления;
- принятые приёмником системы передачи значения координат с искажением, по которым производится восстановление исходного сигнала.
Погрешность восстановления
eå(t)= (2.38)
является реализацией случайной функции
Eå(t)= (2.39)
и характеризуется средним (по множеству и времени) квадратом или, чаще, его приведенным (к дисперсии сигнала ) значением :
(2.40)
|
|
Фактически это суммарная погрешность (шум представления) системы передачи, в которую входят составляющие, возникающие за счет всех преобразований исходного сигнала в тракте передачи.
Операция (2.36) выполняется на передающей стороне оборудованием преобразования сообщения в сигнал с каналом передачи, операция (2.37) – оборудова-нием преобразования принятого из канала сигнала в сообщение.
Восстановление сигнала в аналоговой форме может и не делаться, поскольку часто обработка проводится на ЭВМ, но должно быть предусмотрено, для вычисления, например, погрешности передачи при адаптивных методах приема.
В зависимости от вида операторов и существуют различные методы представления и соответствующие им методы восстановления. Операторы и могут быть как линейными, так нелинейными, причем с одним и тем же оператором представления можно использовать разнообразные методы восстановления и наоборот.
В общем случае линейные операторы имеют вид:
; (2.41)
tÎT, (2.42)
где Vi(t), Wi(t) – соответственно весовые и базисные (координатные) функции, выбором которых полностью определяются линейные операторы и .
|
|
Нелинейные методы дискретного представления и восстановления соответствуют нелинейным операторам и в (2.36), (2.37) и включают в себя линейные операторы как частный случай, однако в отличие от линейных мало исследованы и практически не применяются из-за предполагаемой сложности.
Линейные представления могут быть трех классов:
- представление выборочными мгновенными значениями (точечное);
- дифференциальное (обобщённо-разностное) представление;
- разностное.
1.Представление отсчётами (выборочными мгновенными значениями), которое также называют точечным (рис. 2.8).
gi=s(ti)=si; tiÎT; i=0,1,...,Nk (2.43)
следует из (1.41), когда весовыми функциями являются дельта - функции.
и означает дискретизацию аналогового сообщения с постоянным(T0=ti-ti-1), переменным или случайным шагом, осуществляемую, соответственно, циклическим коммутатором, адаптивным коммутатором или, так называемым, спорадическим (случайным) дискретизаторами.
Восстановление осуществляется согласно (2.42) в виде усеченного ряда - полинома степени Nk, который, по отношению к исходному сообщению, называется аппроксимирующим. В частном случае, когда функции Wi(t) выбраны так, что значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями отсчётов (в отсутствие помех):
|
|
k = 0,1,...,Nk, (2.44)
полином называют интерполяционным (например, полином Лагранжа). Для рассматриваемого вида координат (2.43) интерполяционный полином (2.44) строится на основе базисных функций, относящихся к классу так называемых функций отсчётов, которые обладают следующим общим признаком:
i, k=0,1,...,Nk. (2.45)
2. Дифференциально-разностные представления, при которых очередная формируемая координата gi выражает отклонение соответствующего отсчета si от его экстраполированного значения :
i>0; g0=s0. (2.46)
Если предсказание (экстраполяция) делается на основе ранее сформированных координат , то представление называется дифференциальным (обобщенно-разностным) , если же на основе фактических прошлых отсчётов , то представление называется разностным.
|
Дифференциально-разностные представления обычно образуются из первоначального представления отсчётами (т.е. в результате двухступенчатого преобразования аналогового сигнала.
|
|
Восстановление аналогового сигнала выполняется, как правило, также в два этапа: вначале по разностям (2.46) или (2.47) последовательно вычисляются значения отсчётов , затем по полученным значениям строится аппроксимирующий (или интерполирующий) полином .
При разностном представлении порядка N (рис. 2.9) каждая координата gi, кроме начальной, является конечной разностью образованной обычно из последнего поступившего и предшествующих отсчётов (такая разность называется восходящей) и имеет вид
i>0; g0=s0, (2.47)
, (2.48)
где - число сочетаний из N по k. Это выражение является частным случаем (2.46) и следует также из (2.41), когда весовые коэффициенты являются линейными комбина-циями функций Дирака (дельта-функций).
Разностное представление первого порядка (N = 1), согласно (2.41), определяется формулой
(2.49)
Формирование сигнала при этом поясняется на рис. 2.9,а.
При N = 1
(2.50)
На рис. 2.9,б представлено формирование разностного сигнала при N = 2.
Для дифференциального представления, в соответствии с (2.46) и (2.47), заменяя на , получаем следующее выражение:
i>0; g0=s0. (2.51)
При N = 1
(2.52)
При N = 2
(2.53)
На рис.2.10 представлены принципы формирования дифференциального сигнала при N = 1 (рис.2.10,а) и N = 2 (рис.2.10,б).
3. Интегральные представления, при которых весовая функция Vi(t), в отличие от предыдущих представлений, не содержат дельта-функций, и представление (2.41) действительно сохраняет интегральный характер. В качестве весовых обычно используются различные системы ортогональных (на интервале Т) функций: степенных (например, полином Лагранжа, Чебышева), тригонометрических и др.
Координаты gi являются коэффициентами соответствующего ряда (например, тригонометрического ряда Фурье, ортогонального канонического ряда), построенного по выбранной системе базисных функций, при этом обычно Wi(t)=Vi(t).
Восстановление аналогового сигнала выполняется в форме усеченного ряда (2.42) с подстановкой в него полученных (переданных) координат .
Интегральные представления называют также обобщенными дискретными. Их главный недостаток - задержка начала формирования, а следовательно, и передачи
координат на время Т, в отличие от двух первых классов представления реализуемых в реальном масштабе времени.
Из-за этого недостатка интегральные представления практически не применяются.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1187; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!