Частотное представление сигналов



   Частотное представление сигналов на практике чаще называют спектральным представлением,илиспектром.

   Под спектральным анализом понимают определение функции S(jw) частоты w, которая определяет все спектральные составляющие сигнала s(t).

   Сигнал s(t) и функция S(jw) связаны парой преобразования Фурье [6]:

 

               (прямое преобразование),                                (2.9)

               (обратное преобразование).                 (2.10)

 

   Функция S(jw) называется комплексной спектральной плотностью амплитуд сигнала, или сокращенно спектром сигнала, и имеет размерность [амплитуда]/[частота].

 

Спектр периодического сигнала

   При анализе спектрального состава периодических сигналов удобно использо-вать дельта-функциюd(t-t0) [2].

   По определению, дельта-функция d(t-t0) для любого действительного параметра t0 равна нулю при t¹t0 и неограниченна при t=t0:

 

              d (t-t0) .                                                                     (2.11)

 

   При спектральном анализе используется фильтрующее свойство

 

d-функции:

                                     (2.12)

 

   Периодический сигнал s(t)=s(t-kT0), k=0,±1,±2,... можно представить в виде ряда Фурье:

 

              .                                                                    (2.13)

 

   Учитывая, что  (формула Эйлера), можно заметить, что сигнал s(t) состоит из бесконечного числа синусоидальных и косинусоидальных сигналов с частотами nW1, n=-¥, ..., -2,-1,0,1,2, ...,+¥.. Эти сигналы с частотами, кратными частоте W1, называются гармоническими частотами периодического сигнала. Комплексная амплитуда n-й гармоники определяется по формуле

 

 

              .                                                               (2.14)

 

   Спектр периодического сигнала находится применением прямого преобразования Фурье (2.9) к ряду (1.13) [7]:

 

   .

 

С учетом того, что

 

  

 

окончательно получаем

                                                                        (2.15)

 

   Коэффициенты  удобно представить в виде

 

              ,                                                                           (2.16)

 

где                                                                                 (2.17)

                                                                                        (2.18)

                                                                            (2.19)

                                                                             (2.20)

 

   Зависимость модуля Сn выражения (2.16) от частоты называется спектром амплитуд, а зависимость аргумента jn от частоты - спектром фаз.

   Согласно полученному выражению, спектр периодического сигнала состоит из бесконечного множества импульсных функций, расположенных на оси частот в точках n W1 (кратных основной частоте W1) и имеющих площадь, равную соответствующему коэффициенту Сn ряда Фурье (2.14).

   Пример графика спектра периодического сигнала изображён на рис. 2.7.

   Гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом суперпозиции (наложения) представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных систем на прохождение сигнала. Однако, определение сигнала на выходе системы по сумме гармоник с заданными амплитудами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего сигнал. Наиболее распространенные в технике передачи

 

       

 

информации сигналы этому условию не отвечают, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммирование большого числа гармоник. Метод рядов Фурье в случае исследования сложных периодических сигналов применим больше для задач анализа, нежели для их синтеза.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 280; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ