Ортогональные представления сигналов



   При анализе прохождения сложного сигнала s(t) через линейную систему (идеальная система, у которой зависимость Uвых от Uвх строго линейна) сигнал представляют в виде [5]

 

                                                                     (2.3)

 

где jk(t) - базисные функции;

   Ck - безразмерные коэффициенты.

   Если базисные функции (базис) заданы, то s(t) полностью определяется коэффициентами Ck, совокупность которых называют обобщённым дискретным спектром сигналаs(t).

   За пределами интервала [t1,t2] сигнал (2.3) считается условно продолжающимся, что может оказаться неприемлемым для представления сигналов конечной длительности.

   Для представления ограниченного во времени сигнала применяется интеграл

 

              ,                                                 (2.4)

 

где j(a,t) - базисная функция непрерывного аргумента a;

   S(a) - спектральная плотность, описывающая непрерывный, сплошной спектр.

   Сравнивая выражения (2.3) и (2.4), можно отметить, что S(a)da - аналог безразмерного коэффициента Ck.

   Совокупность методов представления в виде (2.3) и (2.4) называется обобщенной спектральной теорией сигналов.

   Требования к базисным функциям.

   1. Простое аналитическое выражение.

   2. Быстрая сходимость ряда (2.3).

   3. Простота вычисления коэффициентов Ck.

   4. Простота технической реализции.

   Этим требованиям отвечают ортогональные базисные функции, удовлетворяющие условию:

 

              .                                                               (2.5)

 

   При умножении всех функций ji(t), i=  на , система функций ji(t) будетортонормированной (ортонормальной) и

 

              .                                                               (2.6)

 

   Вернемся к представлению (2.3) в случае ортогональности ji(t).

Умножим правую и левую от знака равенства части выражения (2.3) на jj(t) и проинтегрируем на отрезке [t1,t2], лежащем внутри интервала ортогональности [a,b].

 

  

или

   .

 

   При j¹k все интегралы в правой части этого выражения равны 0, а при j=k равны 1 (в соответствии с (2.6)). Следовательно,

 

              .                                                                             (2.7)

 

   Важное свойство - сходимость ряда (2.3) к функции s(t). Для оценки этой сходимости используют различные критерии.

   При среднеквадратической сходимости оценку осуществляют по критерию

 

        .                                                           (2.8)

Примеры ортогональных систем

1. Система тригонометрических функций

 

  

 

ортонормированна на отрезке [-p,p], при переходе к  имеет вид

 

  

(ортонормированна на отрезке ).

2. Система показательных функций

 

   ; k=-¥,...,-2,-1,0,1,2,...,¥

 

также ортонормированна на отрезке [-p,p].

   3. Полиномы Лежандра ортогональны на [-1,1]

 

j0(t)=1; j1(t)=t; j2(t)= ; j3(t)= ; . Нормированные функции Лежандрa .

Полиномы Лежандра ортонормальны с весом e-t на интервале (0,¥),

j0(t)=1;
j1(t)=-t+1;
j2(t)= ;
jn(t)= .

 

 

4.Полиномы Чебышева ортогональны на интервале [1,-1] с весом .

j0(t)= ; j1(t)= ; j2(t)= ; j3(t)= ; jn(t)= Полиномы Чебышева удовлетворяют условию наилучшей аппроксимации в среднеквадратической метрике на системе равноотстоящих точек.
   

 

 

5.Полиномы Эрмита, ортонормированы на [-¥,¥] c весом .


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 207; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ