Вычисление потенциальной энергии стержней при растяжении – сжатии, кручении, изгибе и сложном сопротивлении.

  Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил не исчезает, а переходит в потенциальную энергию (V), накапливаемую в упругом теле при его деформировании.

Следовательно, потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил при нагружении тела (или работе внутренних сил, совершаемой ими в процессе разгружения).

Таким образом, потенциальная энергия деформации стержня, испытывающего, например, растяжение, кручение и прямой поперечный изгиб, равна:

.

Как видно из этой формулы, потенциальная энергия деформации всегда положительна, поскольку она является квадратичной функцией обобщенных сил (или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами). Отсюда следует, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, накопленных от действия каждой нагрузки в отдельности. То есть принцип независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии деформации не применим.

Потенциальная энергия стержня при растяжении – сжатии и изгибе: U₁=ϭ²/2E

(НЕ УВЕРЕН) U=∑Ni*li/2Ei*Ai

Кручение: Элементарная работа статически приложенного внешнего момента Т на перемещении равна:

.

При чистом кручении М_к = Т и .

Потенциальная энергия деформации

;

интегрируя выражение для элементарной работы по всей длине l стержня, получим

.

При М_к = const и = const, получим

.

Сложное сопротивление: кручение+растяж+∑(∫Midx/dEiJyi+Kф∫Qi^2dx/2GiAi)

При простом растяжении (s₂=s₃=0)

 

Теорема Кастильяно. Определение перемещений в статически определимых системах.

Частная производная от потенциальной энергии упругой деформации тела по обобщённой силе равна соотвтсвующему обобщ перемещению.

ai=∑N/EiAi *dN/dFi + ∑Mкр/GiJроi *dMкр/dFi + ∑(∫Mi/EiJyi *dMi/dFi *dx + Кф∫Qi/GiAi * dQi/dFi *dx)

Интеграл Мора δ=∫My(x)Mштрих(x)/EJy * dx

 

Формула Максвелла – Мора для определения перемещений в упругих стержневых системах. Правило Верещагина.

) это 23 задача. Тут сам метод помимо формулы – прочтите лишним не будет.

Метод Максвелла – Мора определения перемещений

Рис. 4.17. Два варианта обобщенных сил и соответствующих им обобщенных перемещений

Метод Максвелла – Мора определения перемещений является универсальным методом, справедливым, не только для балок, но и для любых стержневых систем. Чтобы понять сущность метода Максвелла – Мора, введем понятия обобщенной силы и обобщенного перемещения [2].

Обобщенной силой называется любое однопараметрическое силовое воздействие: это может быть и сосредоточенная сила, и сосредоточенный момент, и распределенная нагрузка, и группа сил, связанных между собой.

Обобщенным перемещением, соответствующим заданной обобщенной силе, называется то перемещение, на котором обобщенная сила совершает работу.

Приведем два самых важных для практики примера. Если обобщенной силой (о.с.) является вертикальная сосредоточенная сила, приложенная в точке А балки, то соответствующим этой силе обобщенным перемещением (о.п.) является перемещение по направлению этой силы, то есть прогиб в точке А (рис. 4.17, а), так как именно на таком перемещении сила F совершает работу. Если обобщенной силой является сосредоточенная пара сил, приложенная в точке В, то обобщенным перемещением, соответствующим этой обобщенной силе, будет угол поворота в сечении В (рис. 4.17, б).

Запишем приближенную формулу Максвелла – Мора, которая используется для определения перемещений в изгибаемых плоских стержневых системах и не учитывает влияния на перемещения продольной и поперечной сил:

.

В этой формуле  – искомое обобщенное перемещение (это может быть и прогиб, и угол поворота любого сечения); М – изгибающий момент от заданной нагрузки; М_i – изгибающий момент, вызванный единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению; EI – жесткость стержня при изгибе (произведение модуля упругости на момент инерции). Интегрирование в формуле Максвелла – Мора ведется по длинам всех стержней конструкции (по длинам всех участков балки).

Таким образом, чтобы воспользоваться формулой Максвелла – Мора, надо:

1)  определить изгибающий момент на каждом участке от заданной нагрузки;

2)  освободить конструкцию от заданной нагрузки и загрузить ее единичной обобщенной силой, соответствующей искомому перемещению, то есть:

· если мы хотим определить вертикальное перемещение какой-то точки, то в этой точке следует приложить сосредоточенную силу, положить ее равной единице и найти изгибающий момент, вызванный действием только этой силы;

· если требуется найти угол поворота какого-то сечения, то в этом сечении надо приложить сосредоточенную пару, равную единице, и найти изгибающий момент от этой пары;

3)  подставить произведение изгибающих моментов от нагрузки и от единичной обобщенной силы в интеграл и проинтегрировать по всей длине конструкции.

Введем правило знаковв методе Максвелла – Мора:полученный по формуле Максвелла – Мора положительный знак перемещения показывает, что искомое перемещение происходит по направлению, совпадающему с принятым направлением единичной обобщенной силы, отрицательный знак перемещения говорит о том, что точки оси перемещаются (сечения поворачиваются) в сторону, противоположную направлению единичной обобщенной силы.

Очень распространенным способом интегрирования формулы Максвелла – Мора является способ графического интегрирования, называемый правилом Верещагина. Для того, чтобы воспользоваться правилом Верещагина, надо построить графики функций М и , входящих в подынтегральное выражение формулы Максвелла – Мора. Такими графиками являются эпюры М и . Операция интегрирования формулы Максвелла – Мора с помощью правила Верещагина носит название "перемножение эпюр".

Правило Верещагина состоит в следующем:

1. Разбиваем эпюру М на простые фигуры, для которых известно положение центра тяжести (прямоугольники, треугольники и т. п.).

2. Находим площади этих фигур . При определении площадей учитываем знаки ординат.

3. Под центрами тяжести этих фигур находим ординаты  на эпюре  (с учетом знаков).

4. Искомый интеграл будет равен (при постоянной жесткости балки ) сумме произведений площадей  на соответствующие им ординаты под центрами тяжести , то есть

,

где n – количество фигур, на которые разбита эпюра М.

В заключение приведем некоторые формулы, которые удобно Приведем некоторые формулы, которые удобно использовать при перемножении эпюр. Если на участке балки действует равномерно распределенная нагрузка, то, как известно, эпюра изгибающих моментов на этом участке является квадратной параболой. Площадь сегмента, ограниченного квадратной параболой и показанного на рис вычисляется по формуле

 

Некоторые полезные формулы для перемножения эпюр

,

а центр тяжести этой фигуры находится посередине, независимо от угла наклона секущей. Если обе перемножаемые эпюры линейны и представляют собой трапеции то, чтобы не разбивать эти трапеции на треугольники и прямоугольники, удобно воспользоваться формулой перемножения трапеций

,

где ординаты a, b, c и d на эпюрах М и М_i показаны на рис. (берутся с учетом знаков); l – длина перемножаемого участка эпюр.

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1021; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!