Свойства функции распределения



        1. , .

    2.Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:  

.

    3. – неубывающая функция, т.е. если  > , то > .

    4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале  равна :

< < .

     Наряду с функцией распределения для задания случайной величины используют также функцию, которая называется плотностью распределения.

    Определение.Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины  называется такая неотрицательная функция , определенная на всей числовой оси, что для всех :

.

    Из этого определения следует, что, зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . И наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

.

    Приведем примеры наиболее известных и применяемых распределений случайных величин.

    1. Равномерно распределенная случайная величина

    Определение.Случайная величина  называется равномерно распределенной на отрезке , если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:   Рис.3

    График плотности распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины приведен на рисунке ?

    Математическое ожидание такой случайной величины вычисляется по формуле , а дисперсия – по формуле .

    Равномерный закон распределения используется при анализе ошибок округления при проведении числовых расчетов, в ряде задач массового обслуживания, при статистическом моделировании наблюдений.

    Задача 3.Поезда метрополитена идут регулярнос интервалом 2 мин. Пассажир приходит на станцию в случайный момент времени. Найдите вероятность того, что ждать поезда пассажиру придется не больше полминуты. Найдите также математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение времени ожидания поезда.

    Решение. Случайная величина  –время ожидания поезда на временном интервале [0,2] (в минутах) имеет равномерный закон распределения  (см. рис.3). Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна от равной 1 площади прямоугольника, т.е.             .

    , , .

 

    2. Показательное распределение случайной величины

    Определение.Случайная величина  называется распределенной по показательному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

    График плотности распределения этой случайной величины приведен на рисунке 4.

                                           

                                                 Рис.4

    Для случайной величины, распределенной по этому закону, основные характеристики вычисляются по формулам:

         ,     ,   .

 

    3.  Случайная величина, распределенная по нормальному закону

    Определение.Случайная величина  называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:

,

где  и  – параметры нормального распределения: параметр  является математическим ожиданием случайной величины, а параметр  – ее средним квадратическим отклонением. График этой функции представлен на рисунке 5.

                         Рис.5

    Нормальное распределение называют также Гауссовским. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения вероятностей. О значении этого закона говорит следующая теорема, которая носит название центральной предельной теоремы:

    Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то  имеет распределение, близкое к нормальному.

    На всех рисунках площадь заштрихованной фигуры равна вероятности попадания значений рассматриваемой случайной величины на указанный отрезок .

 

    3.4.4.Задачи для самостоятельного решения

    4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить ряд распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

    5. Охотник дважды стреляет по цели. Вероятность попадания стрелка при одном выстреле равна 0, 7. Составить ряд распределения числа попаданий стрелка в цель и построить многоугольник полученного распределения.

    6. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по цели. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,8, а второго – 0,7. Составьте ряд распределения числа попаданий в цель.

    7. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

         Х           0           2         3
          Р 0,3          0,5

 

8. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

         Х           0           2         3
          Р 0,4 0,3  

 

    9. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайных величин из задач 3 – 5.

 

.   10. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:

 

   Х    1  3   4 6
    Р 0,2 0,3 0,2 0,3

 

    Найдите функцию распределения  и постройте ее график.

    11. Дана функция распределения непрерывной случайной величины :

 

 

    Найдите плотность распределения и постройте ее график.

    12. Случайная величина равномерно распределена на отрезке

[-2,3]. Запишите выражение для функции распределения этой случайной величины.

    13. Время горения красного сигнала светофора 20 сек. Автомобиль остановился на перекрестке на красный свет. Найдите вероятность того, что он уедет с перекрестка позднее, чем через 15 секунд. 0,25

    14. Рейсовый автобус движется по маршруту строго по расписанию с интервалом 10 мин. Найдите вероятность того, что случайно подошедший к остановке пассажир будет ожидать автобуса менее 2 минут. 0,2

    15. Рейсовый автобус движется по маршруту строго по расписанию с интервалом 12 мин. Найдите вероятность того, что случайно подошедший к остановке пассажир будет ожидать автобуса менее 3 минут. Найдите также математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение времени ожидания автобуса. 6 мин., 12 мин , 2  мин.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 287;