Числовые характеристики дискретной случайной

Случайные величины

Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Понятие случайной величины является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая может принимать то или иное значение из возможного множества своих значений, но какое именно заранее неизвестно. Приведем примеры случайных величин:

1) число детей, родившихся в Ярославле в течение суток;

2) число бракованных электрических ламп в данной партии;

3) число выпадений герба при трехкратном бросании монеты;

4) число преступлений в г. Ярославле за четвертый квартал 2009 года;

5) диаметр болванки, с учетом допустимых погрешностей;

6) время безотказной работы некоторого устройства;

7) величина отклонения точки падения снаряда от центра цели.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Непрерывная случайная величина – это величина, значения которой заполняют некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой прямой. Случайные величины примеров 1–4 являются дискретными случайными величинами с конечным множеством значений. Случайные величины 5–7 являются примерами непрерывных случайных величин.

Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Дискретные случайные величины

Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задан в виде таблицы, аналитически, то есть формулой, и графически. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица:

			…
p			…

В первой строке таблицы записаны все возможные значения дискретной случайной величины в порядке возрастания, а во второй – вероятности, с которыми они принимаются. Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

События , , …, , состоящие в том, что в результате опыта случайная величина принимает соответственно значения , , … , , являются несовместными и единственно возможными, то есть образуют полную группу событий. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1.

Таким образом, для любой дискретной случайной величины имеет место соотношение:

Ряд распределения можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной декартовой системе координат строят точки , , …, и соединяют их отрезками прямых. Полученная ломаная называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).

Задача 1. Составить закон распределения числа выпадений герба при трехкратном бросании монеты. Построить полигон распределения.

Решение. Дискретная случайная величина (число выпадений герба при бросании монеты трижды) может иметь следующие возможные значения: (герб не выпал ни разу, все три раза выпала цифра), (один раз выпал герб и 2 раза – цифра), (2 раза выпал герб и 1 раз – цифра), (герб выпал все три раза). Подсчитаем теперь вероятности этих четырех событий. Заметим, что вероятность выпадения герба при бросании монеты равна , вероятность выпадения цифры . Тогда: 1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Контроль: .

Теперь напишем искомый ряд распределения:

	0	1	2	3
p	1/8	3/8	3/8	1/8

Полигон распределения постройте самостоятельно.

Замечание. Закон распределения рассмотренной случайной величины носит название биномиального.

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины – числа появления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна . Вероятность события ( числа появлений события в испытаниях) вычисляется по формуле .

Задача 2. В офисе работают 10 сотрудников, из них трое подозреваются в подделке документов. Сотрудниками милиции наудачу вызваны на беседу двое сотрудников. Составить закон распределения числа сотрудников, не подозреваемых в подлоге документов среди вызванных на собеседование.

Решение. Случайная величина (число сотрудников, не подозреваемых в подлоге документов среди вызванных на собеседование) имеет следующие возможные значения: , , . Вероятности принять эти значения найдем по формуле

Здесь =10 – число сотрудников, работающих в офисе, =7– число сотрудников, не подозреваемых в совершении подлога, =2 – число сотрудников, приглашенных на собеседование, – число сотрудников среди приглашенных на беседу, которые вне всяких подозрений. Итак, ,

, .

Контроль: . Составим искомый закон распределения:

	0	1	2
p	1/15	7/15	7/15

Замечание.Рассмотренный в этой задаче закон называют гипергеометрическим

Числовые характеристики дискретной случайной

Величины

    1. Математическое ожидание

    Закон распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, которые связаны со случайной величиной. Однако ряд распределения бывает трудно обозримым и поэтому не всегда удобным для практического анализа. Приведем один пример. Пусть даны ряды распределения случайных величин – числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелком, если каждый сделал 10 выстрелов. Необходимо выяснить, какой из этих двух стрелков стреляет лучше. Рассматривая ряды и полигоны распределения заданных случайных величин ответить на этот вопрос не просто из-за обилия числовых значений. В то же время, очевидно, что лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее число очков. Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание.

    Определение.Математическим ожиданием(или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

.

Свойства математического ожидания

    1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:                                    .

    2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:                             .

    3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:



    4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

                                      .

    2. Дисперсия случайной величины

    Математическое ожидание не всегда дает возможность увидеть различие в поведении случайных величин. Второй важной характеристикой случайной величины является степень отклонения ( разброса ) случайной величины от ее математического ожидания (от ожидаемого среднего значения ) – дисперсия случайной величины.

    Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения: .

    Нетрудно доказать, что дисперсия может быть найдена также по формуле

    Решая практические задачи, удобнее применять именно эту формулу.

Свойства дисперсии

    1. ,

    2. ,

    3. .

    Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, а это не всегда удобно. Поэтому наряду с дисперсией для характеристики разброса значений случайной величины относительно ее математического ожидания используют также величину . Она называется средним квадратическим отклонением случайной величины:

    Обратим внимание на то, что сама величина – случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.

Их значение состоит в том, что они в сжатой форме выражают наиболее существенные свойства случайной величины.

    3.4.3. Непрерывные случайные величины

        Так как непрерывная случайная величина принимает все значения из некоторого числового промежутка, то перечислить эти значения невозможно. Поэтому для непрерывной случайной величины нельзя построить ряд распределения и для ее задания используют более общий способ – функцию распределения.

    Определение.Функцией распределения случайной величины называется функция , равная вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее :

< .

    Функция распределения является одной из форм закона распределения и может быть определена как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины. Геометрически функция распределения – это вероятность того, что случайная величина принимает значения, которые на числовой прямой лежат левее точки .

    Пример.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 923; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!