Шестой главный закон движения (увлечения).



 

1. Вывод вспомогательных формул.

 

       Согласно закону переноса, распространение любого заряда сопровождается переносом всех остальных, входящих в соответствующий ансамбль. Количественная сторона эффекта увлечения одних зарядов другими характеризуется перекрестными проводимостями. При этом действует всеобщий закон, определяющий взаимный (симметричный) характер увлечения зарядами друг друга. Предстоит установить количественную сторону этого эффекта. Причем вначале надо вывести вспомогательные расчетные формулы, связывающие перекрестные емкости, взятые при постоянных потенциалах.

       Введем новую функцию, представляющую собой следующую комбинацию энергии и зарядов с потенциалами:

                                           А = U -    дж.                                                 (454)

Сумма правой части этого уравнения содержит r слагаемых, причем величина r может изменять значения в пределах от 0 до n.

       Дифференцирование уравнения (454) дает

                                           dА = dU - = дж.                         (455)

В частном случае из уравнений (454) и (455) получаются все известные характеристические функции, или так называемые термодинамические потенциалы: энергия (при r = 0), свободная энтальпия (при r = n), энтальпия и свободная энергия (при 0 < r < n) [5]. Для дальнейшего важное значение имеет случай, когда r = n. При этом из выражений (8) и (455) получаем

                               dА = -     дж.                                                 (456)

Для термомеханической системы (n = 2) эта формула определяет свободную энтальпию

                               dФ = dA = Vdp - Q dТ     дж.                                     (457)

Воспользуемся из уравнения (456) двумя слагаемыми, помеченными индексами i и r. Величина dA есть полный дифференциал, поэтому:

                                      Е i = ( ¶А/ ¶Р i )Р r; Е r = ( ¶А/ ¶Р r )Р i.                                    (458)

Продифференцируем Е i по Р r и Е r по Р i. Имеем

                                           (¶Е i/ ¶Р r )Р i = ¶ 2А/ ( ¶Р i ¶Р r );                                               (459)

                                           (¶Еr/ ¶Рi)Рr = ¶2А/( ¶Рr ¶Рi).                                               (460)

Отсюда видно, что

                                           (¶Еi/ ¶Рr)Рi = (¶Еr/ ¶Рi)Рr.                                                   (461)

Это равенство выражает известное математическое правило взаимности, согласно которому перекрестные производные, взятые от одноименных величин, между собою равны. Применительно к двум степеням свободы соотношение (461) выглядит следующим образом:

                                           (¶Е1/ ¶Р2)Р1 = (¶Е2/ ¶Р1)Р2.                                                 (462)

       Для термомеханической системы получаем

                                           (¶ V/ ¶Т)р = - (¶ Q/ ¶р)Т.                                                     (463)

       Формулы (461) – (463) содержат все необходимое, чтобы найти уравнение закона увлечения.

 

Дифференциальное уравнение закона.

 

       Сопоставление соотношений (223) и (461) показывает, что перекрестные проводимости К irP и К riP (емкости при постоянных потенциалах), входящие в обобщенные уравнения переноса (221), между собой равны, т.е.

                                           К irP = К riP.                                                                         (464)

       Из сравнения равенств (219) и (462) видно, что (n = 2)

                                      К12P = К21P.                                                                        (465)

       Аналогично для общего уравнения переноса (229) при n = 2 из выражений (233) и (465) получаем

                                           В12 = В21.                                                                           (466)

       В общем случае n степеней свободы для уравнения (234) из выражений (236) и (464) находим

                                           Вir = Вri.                                                                        (467)

       Точно так же для всех частных уравнений переноса § 34 имеем

                                           a12 = a21;                                                                           (468)

                                           air = ari;                                                                             (469)

                                           b12 = b21;                                                                            (470)

                                           bir = bri;                                                                             (471)

                                           L12 = L21;                                                                           (472)

                                           Lir = Lri;                                                                             (473)

                                           М12 = М21;                                                                         (474)

                                           Мir = Мri.                                                                           (475)

       Соотношения (464) – (475) представляют собой дифференциальные уравнения закона увлечения. Они справедливы для любых условий – стационарного и нестационарного режимов, любого числа степеней свободы и т.д., а также для любого уровня мироздания. В частности, они справедливы для уравнений (335). Нестационарным уравнениям переноса (345) и (349) отвечают равенства (472) и (473). Для нестационарных уравнений (395) и (396), описывающих процесс распространения нанозарядов (полей) справедливы соотношения

                                           L12нан = L21нан;                                                                   (476)

                                           Lirнан = Lriнан.                                                                    (477)

       Частным случаем уравнений (468) - (475) являются так называемые соотношения взаимности Онзагера в его термодинамике необратимых процессов (§ 86).

 

Формулировка закона.

 

       Закон увлечения, как уже отмечалось, свидетельствует о наличии симметрии во взаимном увлечении потоков. Согласно этому закону, любая данная (например, первая) сила влияет на поток другого (второго) заряда количественно так же, как вторая сила влияет на поток первого заряда.

       В физическом плане понять механизм симметричного изменения свойств движения очень легко, если вспомнить, что заряды объединены между собой в особые более или менее устойчивые ансамбли. В ансамблях между различными квантами зарядов существует связь определенной интенсивности. Интенсивностью связи определяется величина перекрестных коэффициентов переноса, а обоюдный характер делает эти коэффициенты одинаковыми.

       Например, если речь идет о термоэлектрической системе, то сила связи между термонами и электронами определяет величину перекрестных проводимостей В Q Y и В Y Q. Первый коэффициент характеризует силу, с которой термоны увлекаются электронами под действием разности электрических потенциалов, а второй – силу, с которой электроны увлекаются термонами под действием разности температур.

       равенство перекрестных коэффициентов В Q Y и В Y Q вызвано следующими обстоятельствами. При перемещении термонов относительно электронов (и наоборот) совершается работа, которая по физическому смыслу представляет собой работу трения, или диссипации (ее можно назвать также работой увлечения). Очевидно, процессы увлечения термонами электронов и электронами термонов должны протекать так, чтобы одинаковыми оказались работы (не силы, не пройденные зарядами пути и не величины самих зарядов, а именно работы) связанных зарядов против сил связи. Но равенство работ трения это и есть равенство коэффициентов В Q Y и В Y Q. Чтобы в этом убедиться, достаточно внимательно посмотреть на полученные ранее тождества (464) – (477). Все они могут быть приведены к следующему общему виду:

                                           ¶Рi ¶Е i = ¶Рr ¶Еr    дж.                                                 (478)

       В левой и правой частях этого равенства стоят работы трения (диссипации) связанных зарядов i и r (подробнее о диссипации говорится в следующей главе).

       Таким образом обнаруживается исключительно важное с теоретической и практической точек зрения единство физического механизма следующих эффектов: проявления связи между различными свойствами движения, увлечения заряда другим и трения (диссипации).

 

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!