Четвертый главный закон движения (взаимности).

1. Дифференциальное уравнение закона.

Анализ дифференциальных уравнений состояния позволяет подметить существование определенной симметрии во взаимном влиянии различных форм движения. Эта симметрия может быть выражена с помощью следующих дифференциальных уравнений различных порядков:

А₁₂ = А₂₁; (124)

А _ir = А _ri; (125)

В₁₁₂ = В₁₂₁ = В₂₁₁ ; B₁₂₂ = B₂₁₂ = B₂₂₁; (126)

С₁₁₁₂ = С₁₁₂₁ = С₁₂₁₁ = С₂₁₁₁; (127)

С₁₁₂₂ = С₁₂₁₂ = С₁₂₂₁ = С₂₁₁₂ = С₂₁₂₁ = С₂₂₁₁; (127)

С₁₂₂₂ = С₂₁₂₂ = С₂₂₁₂ = С₂₂₂₁. (127)

и т.д.

Справедливость дифференциального уравнения (124) вытекает из равенства правых частей формул (108), соотношение (125) получено из выражений (112), соотношения (126) – из формул (118), соотношения (127) – из равенств (123) и т.д.

Формулировка закона.

Цепочка дифференциальных уравнений (124) – (127) именуется уравнениями взаимности. Она выражает четвертый главный закон (принцип) общей теории – закон взаимности (симметрии) – и с качественной и количественной стороны определяет симметричный характер взаимного влияния различных элементарных форм движения. Наиболее важными в этом ряду являются соотношения взаимности (124) и (125).

Закон взаимности формулируется следующим образом:

Каждая данная форма движения влияет на некоторое свойство, сопряженное с другой формой движения, в количественном отношении точно так же, как эта другая форма движения влияет на одноименное свойство, сопряженное с данной формой движения.

Смысл закона взаимности можно проиллюстрировать на простейшем примере системы, описываемой дифференциальными уравнениями состояния (106) для n = 2. В этих уравнениях перекрестный коэффициент А₁₂ определяет влияние второго заряда (Е₂) на первый (не сопряженный с ним) потенциал (Р₁), а коэффициент А₂₁ – влияние первого заряда (Е₁) на второй потенциал (Р₂). Величина А₁₂ численно равна изменению первого потенциала Р₁ при изменении второго заряда Е₂ на единицу (и постоянном первом заряде Е₁), величина А₂₁ – изменению второго потенциала Р₂ при изменении первого заряда Е₁ на единицу (и постоянном втором заряде Е₂) [формулы (108)]. Равенство между собой перекрестных коэффициентов А₁₂ и А₂₁ [формула (124)] свидетельствует о наличии строго количественного соответствия между изменением первого потенциала под действием второго заряда и изменением второго потенциала под действием первого заряда, т.е. характеризует симметричный характер обоих изменений.

Например, в случае газа (термомеханическая система) изменение объема на единицу вызывает изменение температуры на такую же величину, на какую изменяется давление под действием единицы термического заряда.

Отмеченные закономерности относятся к изменениям производных свойств второго порядка (потенциалов). Аналогичная картина наблюдается и в отношении изменений производных свойств других порядков. При этом общий характер изменений этих свойств получается более сложным (см. соотношения (126), (127) и т.д.).

В математическом плане равенства (124) – (127) и т.д. составляют содержание теоремы взаимности, которую можно сформулировать следующим образом. Если некоторая величина U (первого порядка) есть функция совокупности аргументов Е _n и все ее производные величины различных порядков – второго (Р _i), третьего (А _i), четвертого (В_i), пятого (С _i), шестого (D_i) и т.д., - определяемые путем дифференцирования U по Е в соответствии с правилами (110), (117), (123) и т.д., в свою очередь являются функциями тех же аргументов, то определенные группы производных величин в пределах каждого порядка равны между собой (формулы (124) – (127) и т.д.).

В физическом плане происхождение соотношений (124) – (127) легко объясняется на основе сил, действующих между квантами зарядов в ансамбле. Этот вопрос разбирается в § 31, 59 и 82.

Емкость системы.

1. Емкость по отношению к заряду.

Теперь предстоит выяснить смысл производных свойств системы более высоких порядков, чем Р. Начнем с установления смысла свойства А. Для этого введем величину, обратную А [формула (104)]:

К = 1/А = dЕ/dР. (128)

Из этой формулы видно, что коэффициент К равен количеству заряда, который изменяет потенциал системы на единицу потенциала. Следовательно, величина К есть емкость системы по отношению к обобщенному заряду. Чем больше емкость К, тем больше требуется подвести заряда к системе, чтобы ее потенциал изменился на единицу.

Таким образом, производное свойство А третьего порядка есть величина, обратная емкости системы по отношению к обобщенному заряду, т.е.

А = 1/К. (129)

В дальнейшем будет показано, что коэффициенты типа К имеют также смысл проводимости системы, а коэффициенты типа А – ее сопротивления.

Необходимо подчеркнуть, что обе величины – А и К – находятся путем дифференцирования потенциалов или зарядов при постоянных значениях всех остальных зарядов, кроме рассматриваемого. На это указывают индексы у скобок в формулах (107) и (108).

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 164; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 17 18 19 20 212223 24 25 26 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!