Вывод уравнения третьего порядка.

⇐ ПредыдущаяСтр 21 из 90Следующая ⇒

Согласно основному постулату, производные свойства третьего порядка А, входящие в дифференциальные уравнения (103), (106) и (110), являются функциями тех же зарядов. На этой основе выводится серия дифференциальных уравнений состояния третьего порядка. В частности, для одной степени свободы (n = 1) получаем:

А = f(E ); (113)

dА = ВdE, (114)

где В – производное свойство движения (системы) четвертого порядка:

В = dА/dE = d²Р/dE² = d³U/dE³. (115)

При n = 2 имеем

А₁₁ = f₁₁(E₁; E₂); (116)

А₁₂ = f₁₂(E₁; E₂); (116)

А₂₁ = f₂₁(E₁; E₂); (116)

А₂₂ = f₂₂(E₁; E₂); (116)

dA₁₁ = B₁₁₁dE₁ + B₁₁₂dE₂; (117)

dA₁₂ = B₁₂₁dE₁ + B₁₂₂dE₂; (117)

dA₂₁ = B₂₁₁dE₁ + B₂₁₂dE₂; (117)

dA₂₂ = B₂₂₁dE₁ + B₂₂₂dE₂, (117)

где

В₁₁₁ = ( ¶А₁₁/ ¶E₁)_E2 = ¶²Р₁/ ¶E²₁ = ¶ ³ U/ ¶E³₁ ; (118)

В₁₁₂ = ( ¶А₁₁/ ¶E₂)_E1 = ¶²Р₁/( ¶E₁ ¶E₂) = ¶ ³ U/( ¶E²₁ ¶E₂) ; (118)

В₁₂₁ = ( ¶А₁₂/ ¶E₁)_E2 = ¶²Р₁/( ¶E₂ ¶E₁) = ¶ ³ U/( ¶E²₁ ¶E₂) ; (118)

В₁₂₂ = ( ¶А₁₂/ ¶E₂)_E1 = ¶²Р₁/( ¶E²₂) = ¶ ³ U/( ¶E₁ ¶E²₂) ; (118)

В₂₁₁ = ( ¶А₂₁/ ¶E₁)_E2 = ¶²Р₂/( ¶E²₁) = ¶ ³ U/( ¶E₂ ¶E²₁) ; (118)

В₂₁₂ = ( ¶А₂₁/ ¶E₂)_E1 = ¶²Р₂/( ¶E₁ ¶E₂) = ¶ ³ U/( ¶E²₂ ¶E₁) ; (118)

В₂₂₁ = ( ¶А₂₂/ ¶E₁)_E2 = ¶²Р₂/( ¶E₂ ¶E₁) = ¶ ³ U/( ¶E²₂ ¶E₁) ; (118)

В₂₂₂ = ( ¶А₂₂/ ¶E₂)_E1 = ¶²Р₂/ ¶E²₂ = ¶ ³ U/ ¶E³₂ . (118)

В формулах (118) производные от коэффициентов А выражены через производные от потенциалов Р с помощью равенств (107) и (108), а производные от потенциалов – через производные от энергии U с помощью равенств (6). Полученные связи между свойствами различных порядков представляют большой интерес и будут использованы в дальнейших выводах.

При наличии n степеней свободы уравнения имеют более громоздкий вид, поэтому здесь не приводятся.

Вывод уравнения четвертого порядка.

Производные свойства В четвертого порядка также являются функциями зарядов. Поэтому в условиях одной степени свободы (n = 1) в соответствии с основным постулатам можно записать:

В = f(E); (119)

dВ = СdE, (120)

где С - производное свойство движения (системы) пятого порядка:

С = dВ/dE = d²А/dE² = d³Р/dE³ = d⁴U/dE⁴ . (121)

Для случая двух степеней свободы (n = 2) уравнения состояния принимают вид:

В₁₁₁ = f₁₁₁(Е₁; Е₂); (122)

...

dB₁₁₁ = C₁₁₁₁dE₁ + C₁₁₁₂dE₂ (123)

...

Ввиду громоздкости уравнений ограничимся только первыми строчками. Еще более громоздкое уравнения получаются для n степеней свободы.

Все рассуждения можно продолжить до бесконечности. В частности при определении свойств С пятого порядка появляются производные свойства D шестого порядка и т.д.

Совокупность выведенных дифференциальных уравнений состояния различных порядков выражает закон состояния.

Формулировка закона.

Дифференциальные уравнения состояния (8), (110), (117), (123) и т.д. определяют все возможные свойства системы. При этом изменение любого данного свойства складывается из n величин, каждая из которых пропорциональна изменению соответствующего заряда, коэффициентом пропорциональности служит свойство более высокого порядка.

Так формулируется третий главный закон (принцип) общей, или единой, теории движения – закон состояния.

Обращает на себя внимание следующее обстоятельство. В законе состояния действует простейшее правило аддитивности (сложения), согласно которому влияния на данное свойство всех зарядов суммируются между собой. Кроме того, в законе проявляется простейший принцип линейности: каждое данное свойство линейно (в первой степени) зависит от всех зарядов и всех свойств более высокого порядка.

Самым важным звеном собственно закона состояния является дифференциальное уравнение (110) второго порядка. С увеличением порядка уравнения роль соответствующего свойства движения снижается.

Основные и перекрестные коэффициенты.

Уравнения закона состояния с качественной и количественной стороны определяют всеобщую связь явлений. Наиболее характерно в этом отношении уравнение (110), связывающее потенциалы с зарядами. Из этого уравнения видно, что любой данный потенциал изменяется от всех зарядов одновременно. Количественная сторона изменения определяется величинами коэффициентов пропорциональности А, представляющих собой производные свойства третьего порядка.

Коэффициенты типа А₁₁, А₂₂, А _ii и А _rr определяют влияние данного заряда на сопряженный с ним потенциал. Они именуются основными. Коэффициенты А₁₂, А₂₁, А _ir и А _ri характеризуют влияние данного заряда на не сопряженные с ним потенциалы. Эти коэффициенты называются перекрестными. Именно величиной перекрестных коэффициентов определяется количественная сторона взаимного влияния различных явлений природы.

Например, у газа перекрестные коэффициенты, связывающие термическую и механическую формы движения, имеют большие значения, поэтому изменение объема сильно влияет на температуру, а изменение термического заряда – на давление. У того же газа перекрестные коэффициенты, связывающие термическую, электрическую, фильтрационную и некоторые другие степени свободы, невелики, поэтому для обнаружения соответствующих связей приходится использовать прецизионную аппаратуру. Например, по опытам З.Ф. Слезенко (Белорусский государственный университет) при комнатных условиях под действием разности температур в газе возникают разности электрических потенциалов порядка 10^-6 в и токи порядка 10^-12 а [4]. Аналогично по опытам автора под действием разности электрических потенциалов а капилляре возникают потоки паров воды порядка 10^-8 г/сек [4].

Благодаря всеобщей связи явлений формы движения приобретают замечательное свойство, которое заключается в следующем. Активность любой данной формы движения способна и вынуждена превращаться в активность любой другой формы движения. Количественная сторона этой способности выражается уравнением (110), согласно которому изменение количества любого данного движения (заряда) сопровождается одновременным изменением активности всех движений. Для большей эффективности преобразований целесообразно использовать ансамбли, у которых соответствующие перекрестные коэффициенты имеют максимальные значения. На практике так обычно и поступают. Например, для превращения активности термической формы движения в активность механической и наоборот применяют газ, у которого необходимые связи выражены наиболее заметно. Аналогично для превращения активности электрической формы движения в активность магнитной и наоборот пользуются металлами, в них крайне сильно связаны электрическая и магнитная формы движения.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 266; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 16 17 18 19 202122 23 24 25 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!