Задания для самостоятельной работы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ «ИРКУТСКИЙ КОЛЛЕДЖ АВТОМОБИЛЬНОГО ТРАНСПОРТА И ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА»

Практическое занятие по математике по теме

«Решение иррациональных уравнений и неравенств»

Разработчик: Бухарова Лариса Александровна, преподаватель математики,

первая квалификационная категория


Тема: Решение иррациональных уравнений и неравенств

Цель: закрепить понятие иррациональных уравнений и неравенств, усвоить способы решения иррациональных уравнений и неравенств; отработать навыки решения иррациональных уравнений и неравенств; способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты, развивать самостоятельность; развивать вычислительные навыки.

Материально-техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы, индивидуальные карточки практической работы.

Время выполнения: 90мин.

Литература:

1) Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 384 с.

2) Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова. – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2012. – 384 с.

3) Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 9-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2014. – 256 с.

Ход занятия:

1) Изучить краткие теоретические сведения по теме.

2) Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

3) Выполнить задания для самостоятельной работы.

4) Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.


Краткие теоретические сведения

Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

При возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение-следствие данного.

 

Методы решения иррациональных уравнений

1.  

- если а – отрицательно, то уравнение  - не имеет решения;

- если , то уравнение  равносильно .

Это следует из определения арифметического корня.

Задание №1. Решим уравнение .

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат и получим . Решим полученное уравнение и найдем его корни: . Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. При подставновке их в данное уравнение получаются верные равенства. Следовательно,  ­– решения данного уравнения.

Ответ: .

Задание №2. Решим уравнение .

Решение: Возведя в квадрат обе части уравнения, получим . После преобразований приходим к квадратному уравнению . Корнями данного уравнения являются числа  и . Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подставновке в него числа 4 получаем верное равенство , т.е. 4 – решение данного уравнения. При подставновке числа 1 получаем неверное равенство . Следовательно 1 не является решением уравнения, т.е. он является посторонним корнем, полученный в результате принятого способа решения.

Ответ: .

2. Решение иррациональных уравнений, используя переход к смешанной системе.

 

Задание №3. Решим уравнение .

Решение: Данное уравнение равносильно системе:

Преобразуем полученное уравнение:

Решая данное уравнение, получим его корни .

По условию, корни уравнения должны быть не меньше 8. Исходя из этого, получаем один корень .

Ответ: .

Задание №4. Решим уравнение

Решение: В отличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержит не квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы «избавиться от радикала», надо возвести обе части уравнения в куб:

После преобразований получаем:

Итак,

Ответ: .

 

3. Переход к равносильной системе

Задание №5. Решим уравнение .

Решение: Данное уравнение равносильно системе:

Следовательно, данное уравнение не имеет решения, т.к. система неравенст имеет пустое множество.

Ответ: решений нет.

Задание №6. Выяснить с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение . Найти приближенные значения этих корней.

Решение: Построим на одном рисунке графики функций  и . Графики пересекаются в одной точке при .

Ответ: .

Задание №7. Решим систему уравнений

Решение:

Положив  и , приходим к системе

Подставим во второе уравнение . Тогда получим систему, равносильную второй:

Решая второе квадратное уравнение из системы, находим его корни: . Следовательно, . Переходя к переменным  и , получаем , т.е. , , , .

Следовательно, , , , .

Ответ: .

 

Иррациональные неравенства

Определение: Неравенство называется иррациональным, если в него входит функция под знаком корня.

Рассмотрим несколько видов иррациональных неравенств

1. Неравенство вида .

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

2. Неравенство вида .

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

 

3. Неравенство вида .

Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

 

Задание №8. Решим неравенство .

Решение: Данное неравенство равносильно системе:

Решая данные неравенства методом интервалов, имеем:

Оба неравенства системы выполняются при , а также при .

Задание №9. Решим неравенство .

Решение: Запишем совокупность неравенств

и решим каждую систему отдельно

и

Решим второе неравенство системы методом интервалов, а также найдем пересечение с решением первого неравенства системы. Тогда .

Объединяем решения двух систем и получаем, что неравенство справедливо на промежутке .

Задания для самостоятельной работы

Задание №1. Решите уравнения:

a)

b)

c)
d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

       

 

Задание №2. Выясните с помощью графиков, сколько корней имеет уравнение:

a) b) c)

 

Задание №3. Решите систему уравнений:

a) b) c)

 

Задание №4. Решите неравенства:

a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)

 

Задание №5. Решите уравнения:

a) b) =

 

Контрольные вопросы

1. Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная?

2. Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений?

3. Как называется способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений?

4. Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований?

5. Какими методами решаются иррациональные уравнения?

6. Опишите алгоритм решения методом возведения в степень, равную показателю корня.

7. Опишите алгоритм решения методом перехода к смешанной системе.

 

8. Опишите алгоритм решения методом перехода к равносильной системе.

9. Какое неравенство называется иррациональным?

10. С какими видами иррациональных неравенств вы познакомились?

11. Опишите алгоритм решения вышеперечисленных неравенств.

 

 


Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 12;