Задание 3. Наибольшее и наименьшее значения функции



Методические указания к выполнению работы по теме

«Предел и производная функции одной переменной»

Расчетно-графические работы выполняются командами студентов (по 3-4 человека) и заключаются в выполнении заданий, оформлении отчета и его защите в форме доклада. Сформированные команды сами выбирают себе номер от 1 до 8 так, чтобы у каждой команды он был уникальный. Защита работ проходит в конце модуля.

 

К расчетно-графической работе предъявляются следующие требования:

1) к выполнению заданий – в работе должны быть:

a. представлены в логической последовательности основные этапы исследования или решения;

b. указаны используемые теоретические положения и методы;

c. получены точные численные результаты и построены требуемые графические изображения;

2) к оформлению отчета – отчет должен быть выполнен в электронном виде в одном из следующих форматов: doc, docx или ppt, pptx (для ppt, pptx используется шаблон Университета ИТМО (ИСУ –> Полезные ссылки –> Корпоративная стилистика –> Презентации (в самом низу))

и содержать:

a. титульный лист/слайд (название дисциплины, номер модуля, учебный год, название РГР, ФИ исполнителя, номера групп, дата, место (Университет ИТМО));

b. условия всех заданий;

c. основные этапы решения (исследования) каждой задачи, его теоретическое обоснование, численные результаты;

d. графики или рисунки, иллюстрирующие решение каждой задачи (выполненные в математическом редакторе Desmos: https://www.desmos.com/ или Geogebra: https://www.geogebra.org/ ). В случае интерактивных графиков и рисунков допускается вставить в отчёт вместо них ссылки на рабочие листы математического редактора и при защите демонстрировать их отдельно;

e. выводы;

f. оценочный лист (для работы, выполненной командой; при этом вклад каждого исполнителя оценивается всей командой по шкале от 0 до 5 баллов).

3) к докладу – для доклада отводится от 7 до 10 минут. Доклад подкрепляется демонстрацией отчёта, который выводится на экран ноутбука или проецируется на экран в мультимедийной аудитории. Во время доклада оценивается качество устного изложения материала и ответы на вопросы по теме работы. Доклад должен содержать:

a. постановку задачи;

b. изложение основных этапов исследования или решения;

c. ссылки на теоретический материал, используемый при исследовании и решении;

d. результаты исследования или решения и их оценку;

e. выводы.


Задание 1. Пределы

Дана последовательность  и функция . Исследуйте поведение предложенных величин:

1) Вычислите предел последовательности при . Вычислите предел функции при .
2) Постройте график общего члена последовательности в зависимости от номера n. Постройте график функции в зависимости от x.
3) Проиллюстрируйте сходимость (расходимость) последовательности: Проиллюстрируйте сходимость (расходимость) функции на бесконечности:
а) вспомните определение сходимости (расходимости) последовательности; вспомните определение сходимости (расходимости) функции в на бесконечности;
б)

выберите три различных положительных числа ,  и ;

в)

для каждого такого числа изобразите на графике -окрестность (« -трубу»)

г) и найдите на графике номер , начиная с которого все члены последовательности попадают в -окрестность или установите, что такого номера нет. и найдите на графике -окрестность, в которой все значения функции попадают в -окрестность или установите, что такой окрестности нет.

 

№ команды
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

Задание 2. Дифференциал

Дана задача. Проведите исследование:

1) Составьте математическую модель задачи: введите обозначения, выпишите данные, составьте уравнение (систему уравнений), содержащее неизвестное.

2) Решите задачу аналитически.

3) Сделайте графическую иллюстрацию к решению задачи. Сверьтесь с аналитическим решением.

4) Запишите ответ.

 

№ команды Задача
1. На сколько изменится объём шара, если его радиус изменится на величину ? С какой относительной погрешностью допустимо измерить радиус шара, чтобы его объём можно было определить с точностью до одного процента?
2. Вычислите приближённо площадь кругового кольца при изменении радиуса R на величину .
3. Сторона куба x = 5 м  0,01 м. Вычислите абсолютную и относительную погрешности при вычислении объёма куба.
4. Период колебания маятника , где l – длина маятника в сантиметрах. Как нужно изменить длину маятника l = 20 см, чтобы период колебания уменьшился на 0,1 с?
5. Период колебания маятника , где l – длина маятника в сантиметрах, g – ускорение силы тяжести (g = 981 см/с2). Какое влияние на погрешность при вычислении T окажет погрешность в 1% при изменении длины маятника?
6. Ток I определяется по тангенс-гальванометру по формуле . Пусть  – ошибка, допущенная при отсчёте угла . Найдите абсолютную и относительную погрешности при определении I. При каком  относительная погрешность будет минимальной?
7. По данному расстоянию d светящейся точки от оптического центра двояковыпуклого стекла может быть вычислено расстояние f её изображения согласно формуле , где F – постоянная для данного стекла и данного сорта лучей. Как влияет погрешность в измерении d на погрешность в вычислении f ?
8. Длина телеграфного провода , где 2b – расстояние между точками подвеса, а f – наибольший прогиб. На сколько увеличится прогиб f , когда провод от нагревания увеличится на ?

 


Задание 3. Наибольшее и наименьшее значения функции

Дана задача. Проведите исследование:

1) Составьте математическую модель задачи: введите обозначения, выпишите данные, составьте уравнение (систему уравнений), содержащее неизвестное.

2) Решите задачу аналитически.

3) Сделайте графическую иллюстрацию к решению задачи. Сверьтесь с аналитическим решением.

4) Запишите ответ.

 

№ команды Задача
1. Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением, равным 6,5 кв. метров. При каких линейных размерах сечения на облицовку стенок канала пойдет наименьшее количество материала?
2. Из куска металла, ограниченного линиями , ,  требуется выпилить деталь прямоугольной формы с наибольшей площадью.
3. В кинотеатре 1000 мест. Администрация установила, что спрос на билеты зависит от их цены линейно: при цене на билет 200 руб. спрос равен 10 ед., при цене 1000 руб. – 5 ед. Определите наиболее выгодную цену билетов.
4. По результатам агрономического опыта была установлена квадратичная зависимость между среднесуточной температурой, при которой выращивалась пшеница нового сорта и ее урожайностью. Результаты опыта представлены в таблице. Найдите оптимальную температуру, которая обеспечит максимальный урожай.
Температура, оС 14 16 22
Урожайность, кг/м2 0,91 1,06 0,88

 

5. Тело остывает по экспоненциальному закону. Известно, что в начальный момент времени, температура тела была равна 320 градусов, а за неограниченное время она сравняется с температурой окружающего воздуха (20 градусов). Начальная скорость остывания равнялась -50 градусов в минуту. Найдите зависимость скорости остывания от времени.
6. Эпидемия распространяется среди населения по квадратичному закону. Статистика числа заболевших приведена в таблице. Найдите скорость изменения числа заболевших и в какое время эпидемия пойдет на спад.
Время, недели 0 5 10
Число заболевших 0 5250 9000

 

7. Три пункта A, B и C расположены не на одной прямой; . Из точки A выходит автомобиль, одновременно из точки B – поезд. Автомобиль движется по направлению к B со скоростью 80 км/ч, поезд – по направлению к C со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если AB = 200 км?
8. От канала шириной 2 м под прямым углом отходит канал шириной 4 м. Стенки каналов прямолинейны. Найдите наибольшую длину бревна l, которое можно сплавлять по этим каналам из одного в другой.

 


Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 12;