График логарифмической функции
Как правильно построить координатные оси?
На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.
Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.
Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.
Сначала рассмотрим двухмерный случай.
1) Чертим координатные оси. Чертить всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны быть похожи на бороду Папы Карло.
2) Подписываем оси.
3) Задаем размерность по осями: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самая удобная и часто встречающаяся размерность: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева).
Графики и основные свойства элементарных функций
График линейной функции
Линейная функция задается уравнением 
. График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.
Пример 1
Построить график функции 
.
При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу: 
При оформлении чертежа всегда подписываем графики.
График квадратичной, кубической функции, график многочлена
Парабола. График квадратичной функции 
( 
) представляет собой параболу. Рассмотрим канонический случай: 
Вспоминаем некоторые свойства функции .
Область определения – любое действительное число, 
. Область определения любой функции стандартно обозначается через . Буква 
обозначает множество действительных чисел.
|
|
|
Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае: 
– множество всех положительных значений, включая ноль. Функция является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси 
. Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием 
. Как проверить любую функцию на чётность? Нужно вместо 
подставить в уравнение 
. В случае с параболой проверка выглядит так: 
, значит, функция является четной.
Функция не ограничена сверху.
Пример 2
Построить график функции 
.
В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Сначала находим вершину параболы .
– именно в этой точке и находится вершина параболы. Рассчитываем соответствующее значение «игрек»:
|
|
|
Таким образом, вершина находится в точке 
Теперь находим другие точки, при этом пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.
В каком порядке находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:
Выполним чертеж:
Кубическая парабола
Кубическая парабола задается функцией 
. Вот знакомый со школы чертеж:
Перечислим основные свойства функции
Область определения – любое действительное число: .
Область значений – любое действительное число: 
.
Функция 
является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием 
. Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»:
, значит, функция является нечетной.
Функция не ограничена
Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что 
, то при вычислении 
уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что 
. Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.
|
|
|
Теперь немного поговорим о графиках многочленов.
График любого многочлена третьей степени 
( ) принципиально имеет следующий вид:
В этом примере коэффициент при старшей степени 
, поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».
Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:
Эти знания полезны при исследовании графиков функций.
График функции 
Выполним чертеж:
Основные свойства функции :
Область определения: 
. Область значений: 
.
То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.
Функция не ограничена сверху. При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:
График гиперболы
. 
Основные свойства функции :
Область определения: 
. Область значений: 
.
Запись 
обозначает: «любое действительное число, исключая ноль»
В точке 
функция терпит бесконечный разрыв.
Прямая (к которой бесконечно близко приближается график какой-либо функции) называется асимптотой.
|
|
|
В данном случае ось является вертикальной асимптотой для графика гиперболы при 
.
График функции вида 
( ) представляют собой две ветви гиперболы.
Если 
, то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях.
Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.
Пример 3
Построить правую ветвь гиперболы 
Используем поточечный метод построения, при этом, значения выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:
Выполним чертеж:
Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.
График показательной функции
В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию 
, поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.
– это иррациональное число: 
, это потребуется при построении графика. Трёх точек, пожалуй, хватит:
График функции 
пока оставим в покое, о нём позже.
Основные свойства функции :
Область определения: – любое «икс».
Область значений: 
. Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство 
, а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.
Функция не ограничена сверху: 
.
График экспоненциальной функции будет «взмывать» вверх на бесконечность очень быстро и круто, уже при 
Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция 
, если 
. Функции 
, 
, 
будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.
Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку 
, то есть 
. Это значение должен знать даже «двоечник».
Теперь рассмотрим случай, когда основание 
. Снова пример с экспонентой 
– на чертеже соответствующий график прочерчен малиновым цветом? Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону». Принципиально так же выглядят графики функций 
, 
и т. д.
График логарифмической функции
Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом 
.
Выполним поточечный чертеж:
Если позабылось, что такое логарифм, отсылаю вас к школьным учебникам, академик Холмогоров свой хлеб все-таки не зря ест.
Основные свойства функции :
Область определения: 
Область значений: .
Функция не ограничена сверху: 
, пусть и медленно, но ветка логарифма уходит вверх на бесконечность.
Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: 
.
Принципиально так же выглядит график логарифма при основании : 
, 
, 
(десятичный логарифм по основанию 10) и т.д. При этом, чем больше основание, тем более пологим будет график.
Экспоненциальная функция и логарифмическая функция – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.
Дата добавления: 2019-07-17; просмотров: 337; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!