Структура свободной составляющей переходного процесса. Понятие о начальных условиях



Вид общего решения однородного уравнения (6.7), т.е. структура свободной составляющей переходного процесса x св (t) зависит от корней λ k характеристического

 

уравнения

a n λ n + a n1λ n1+K+ a1λ + a0=0, (6.10)
которое получается из однородного уравнения (6.7) путем замены функции x(t)на

единицу, а ее производных — на λ m , где m — порядок производной ( m = 1,n ). Корни

λ k

могут быть действительными или комплексно-сопряженными, простыми или

кратными,поэтому свободная составляющая x св (t)представима выражением

 
  x св (t)= y1(t)+ y2(t)+K+ y k (t), (6.11)
где явный вид функций y k (t ) ( kn ) определяется типом и кратностью корней

характеристического уравнения (6.10). В общем случае характеристического уравнения

произвольной степени

n все

возможные типы

  таких функций

представлены в

 
таблице 6.1.                          

Таблица 6.1 – Тип функций, определяемых корнями характеристического уравнения

 
       

 

       
Тип корня и его

Вид корня λ k

 

Вид функции y k (t),

Постоянная

 
кратность m k  

соответствующей корню λ

интегрирования

 
                  k        
Действительный          

y k (t)= Ae α t

       
однократный,   λ k = α      

A = const

 
m k =1                          
Действительный             m k    

A m = const ,

 

m k –кратный,

 

λ = α

 

y

k

(t )=

A t m−1e α t

 
           

m k >1

  k       m

m =1,m k

 
               
            m=1            
Комплексно-                          
сопряженный

λ k

= α ± j β

        α t

sin(β t + χ )

A = const ;

 
однократный,  

y k (t)= Ae

χ = const

 
m k =1                          
Комплексно-          

m k

     

A m = const ;

 

сопряженный

                 

λ k

= α ± j β

 

y k (t )=∑A m t m1e α t sin( β t + χ m )

χ m = const ,

 

m k –кратный,

   
             
m k >1        

m=1

     

m =1,m k

 
                       
                           

 

Примечание –Необходимо помнить,что,поскольку в линейной цепи с течениемвремени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

Коэффициенты A m и χ m каждой из функций y k (t) (см. таблицу 6.1) являются

 

постоянными интегрирования и определяются из начальных условий. Начальными


 

 

126


условиями (начальными значениями)называют значения токов и напряжений в схеме вмомент коммутации, т.е. при t = 0 .

Различают следующие типы начальных условий:

 

В докоммутационные и послекоммутационные;

В независимые и зависимые;

В нулевые и ненулевые.

Докоммутационными условиями называют значения токов и напряжений в схемепри t = 0 ; послекоммутационными — значения токов и напряжений при t = 0+ .

 

Значения токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях , известные из докоммутационного режима, называют независимыми начальными условиями , а значения всех остальных токов и напряжений в послекоммутационной схеме — зависимыми условиями.

 

Если в электрической цепи непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, имеют место нулевые начальные условия.Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов инапряжений в схеме не равны нулю, имеют место ненулевые начальные условия.

 

Последовательность расчета переходных процессов в цепи классическим методом

 

При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:

 

В составить на основании законов Кирхгофа систему дифференциальных уравнений для исследуемой цепи (в случае одноконтурной цепи — одно уравнение непосредственно по 2-му закону Кирхгофа);

 

В выбрать основную переменную x(t) и исключением других переменных из

системы уравнений получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только основную переменную;

 

В записать общее решение дифференциального уравнения в виде (6.8), т.е. как сумму свободной и принужденной составляющих x св (t) и x пр (t);

 

В определить принужденную составляющую x пр (t) методами расчета цепей в

 

установившемся режиме;

 

J составить характеристическое уравнение (6.10) и определить его корни λ k ;

 

K составить выражение для свободной составляющей x св (t ) согласно

 

формуле (6.11) и таблице 6.1;

 

7) записать начальные условия; если условия ненулевые, то определить токи в

индуктивностях и напряжения на ёмкостях методами расчета цепей в установившемся режиме при t = 0 ;

8)

определить постоянные интегрирования

A m и χ m ;

     
9) подставить полученные значения A m , χ m , x пр (t λ k в общее решение

x(t )= x св (t )+ x пр (t ),

провести анализ полученного

решения и построить графики
               

 

изменения искомой величины.

 

Далее (в разделах 6.7 – 6.9) рассмотрены примеры анализа переходных процессов

В электрических цепях. Они имеют самостоятельное значение и иллюстрируют суть классического метода.


 

127


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 225; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!