Структура свободной составляющей переходного процесса. Понятие о начальных условиях
Вид общего решения однородного уравнения (6.7), т.е. структура свободной составляющей переходного процесса x св (t) зависит от корней λ k характеристического
уравнения
| a n λ n + a n−1λ n−1+K+ a1λ + a0=0, | (6.10) |
| которое получается из однородного уравнения (6.7) путем замены функции | x(t)на |
единицу, а ее производных — на λ m , где m — порядок производной ( m = 1,n ). Корни
| λ k | могут быть действительными или комплексно-сопряженными, простыми или | |
| кратными,поэтому свободная составляющая x св (t)представима выражением | ||
| x св (t)= y1(t)+ y2(t)+K+ y k (t), | (6.11) | |
| где | явный вид функций y k (t ) ( k ≤ n ) определяется типом и кратностью | корней |
характеристического уравнения (6.10). В общем случае характеристического уравнения
| произвольной степени | n все | возможные типы | таких функций | представлены в | |||||||||
| таблице 6.1. | |||||||||||||
| Таблица 6.1 – Тип функций, определяемых корнями характеристического уравнения | |||||||||||||
|
| |||||||||||||
| Тип корня и его | Вид корня λ k | Вид функции y k (t), | Постоянная | ||||||||||
| кратность m k | соответствующей корню λ | интегрирования | |||||||||||
| k | |||||||||||||
| Действительный | y k (t)= Ae α t | ||||||||||||
| однократный, | λ k = α | A = const | |||||||||||
| m k =1 | |||||||||||||
| Действительный | m k | A m = const , | |||||||||||
| m k –кратный, | λ = α | y | k | (t )= | ∑ | A t m−1e α t | |||||||
| m k >1 | k | m | m =1,m k | ||||||||||
| m=1 | |||||||||||||
| Комплексно- | |||||||||||||
| сопряженный | λ k | = α ± j β | α t | sin(β t + χ ) | A = const ; | ||||||||
| однократный, | y k (t)= Ae | χ = const | |||||||||||
| m k =1 | |||||||||||||
| Комплексно- | m k | A m = const ; | |||||||||||
| сопряженный | |||||||||||||
| λ k | = α ± j β | y k (t )=∑A m t m−1e α t sin( β t + χ m ) | χ m = const , | ||||||||||
| m k –кратный, | |||||||||||||
| m k >1 | m=1 | m =1,m k | |||||||||||
Примечание –Необходимо помнить,что,поскольку в линейной цепи с течениемвремени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.
Коэффициенты A m и χ m каждой из функций y k (t) (см. таблицу 6.1) являются
постоянными интегрирования и определяются из начальных условий. Начальными
126
условиями (начальными значениями)называют значения токов и напряжений в схеме вмомент коммутации, т.е. при t = 0 .
Различают следующие типы начальных условий:
В докоммутационные и послекоммутационные;
В независимые и зависимые;
В нулевые и ненулевые.
Докоммутационными условиями называют значения токов и напряжений в схемепри t = 0− ; послекоммутационными — значения токов и напряжений при t = 0+ .
Значения токов в индуктивностях и напряжений на ёмкостях , известные из докоммутационного режима, называют независимыми начальными условиями , а значения всех остальных токов и напряжений в послекоммутационной схеме — зависимыми условиями.
Если в электрической цепи непосредственно перед коммутацией все токи и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, имеют место нулевые начальные условия.Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов инапряжений в схеме не равны нулю, имеют место ненулевые начальные условия.
Последовательность расчета переходных процессов в цепи классическим методом
При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях классическим методом необходимо придерживаться следующей последовательности действий:
В составить на основании законов Кирхгофа систему дифференциальных уравнений для исследуемой цепи (в случае одноконтурной цепи — одно уравнение непосредственно по 2-му закону Кирхгофа);
В выбрать основную переменную x(t) и исключением других переменных из
системы уравнений получить одно дифференциальное уравнение, содержащее только основную переменную;
В записать общее решение дифференциального уравнения в виде (6.8), т.е. как сумму свободной и принужденной составляющих x св (t) и x пр (t);
В определить принужденную составляющую x пр (t) методами расчета цепей в
установившемся режиме;
J составить характеристическое уравнение (6.10) и определить его корни λ k ;
K составить выражение для свободной составляющей x св (t ) согласно
формуле (6.11) и таблице 6.1;
7) записать начальные условия; если условия ненулевые, то определить токи в
индуктивностях и напряжения на ёмкостях методами расчета цепей в установившемся режиме при t = 0− ;
| 8) | определить постоянные интегрирования | A m и χ m ; | |||||
| 9) | подставить | полученные значения A m , | χ m , | x пр (t)и | λ k | в общее | решение |
| x(t )= x св (t )+ x пр (t ), | провести анализ полученного | решения | и | построить | графики | ||
изменения искомой величины.
Далее (в разделах 6.7 – 6.9) рассмотрены примеры анализа переходных процессов
В электрических цепях. Они имеют самостоятельное значение и иллюстрируют суть классического метода.
127
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 225; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!