Лекция 6. Переходные процессы в линейных электрических цепях и методы их анализа
6.1 Определение переходных процессов в цепи. Законы коммутации Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи при переходе
от одного установившегося (стационарного) режима к другому, называются переходными.Переходной процесс возникает при коммутации,т.е.при подключенииили отключении источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи либо параметров входящих в нее элементов.
На схемах замещения коммутацию обозначают в виде ключа со стрелкой
122
|
|
| u C (0−)= u C (0+), |
(рисунок 6.1, а — замыкание, рисунок 6.1, б — размыкание, рисунок 6.1, в — переключение).
а) б) в)
Рисунок 6.1 – Контакт коммутационного устройства замыкающий (а), размыкающий (б), переключающий (в)
Считают, что коммутация происходит в течение бесконечно малого промежутка времени, т.е. мгновенно. Момент коммутации обычно принимают за начало отсчета, т.е. в момент коммутации t = 0 . При этом момент времени непосредственно перед коммутацией обозначают t =0−,а момент времени непосредственно после
коммутации — t =0+.
Переходной процесс завершается установлением стационарного состояния, при котором токи, напряжения и ЭДС в электрической цепи являются или постоянными, или периодическими функциями времени. Теоретически переходной процесс может длиться бесконечно долго, и в этом смысле стационарное состояние является математической идеализацией.
|
|
|
Переходные процессы в цепи удовлетворяют двум законам коммутации.
Первый закон коммутации: ток в индуктивности непосредственно до
коммутации равен току в той же индуктивности непосредственно после коммутации:
i L (0−)= i L (0+), (6.1)
где i L — ток в индуктивности.
Второй закон коммутации: напряжение на ёмкости непосредственно докоммутации равно напряжению на той же ёмкости непосредственно после коммутации:
(6.2)
где u C — напряжение на ёмкости.
Примечание –Из законов коммутации следует,что припереходном процессе вцепи ток в индуктивности и напряжение на ёмкости не могут измениться скачком.
Обоснование невозможности скачка тока в индуктивности и скачка напряжения на ёмкости. Физическая причина возникновения переходных процессов
С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока в индуктивности и напряжения на ёмкости объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в них энергии:энергии магнитного поля катушки
|
|
|
W L и энергии электрического поля конденсатора W C :
| W = | Li2 | , W = | Cu2 | . | |
| L | 2 | C | 2 | ||
Действительно, скачкообразное изменение энергии требует бесконечно мощностей p L и p C в индуктивных и ёмкостных элементах, так как
| p | L | = lim | W L | = | dW L | = ∞ , | p | = lim | W C | = | dW C | = ∞ . | |
| t→0 | t | dt | C | t | dt | ||||||||
| t→0 | |||||||||||||
(6.3) больших
(6.4)
123
Поскольку реальные источники питания не обладают бесконечно большой мощностью, то мгновенное изменение энергий W L и W C невозможно.
Физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них энергоемких элементов:катушек индуктивности и конденсаторов,т.е.индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Эти элементы накапливают энергию в виде энергии магнитного и электрического полей, поэтому процесс перехода к новому стационарному состоянию, обусловленный изменением электромагнитной энергии цепи, требует некоторой продолжительности во времени.
|
|
|
5) цепях, не содержащих энергоемких элементов и состоящих, например, только из активных сопротивлений, накопления энергии нет и переход к новому установившемуся состоянию происходит практически мгновенно. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.
6.3 Общая характеристика методов анализа переходных процессов Основными методами анализа переходных процессов в линейных электрических
цепях являются:
классический метод,заключающийся в непосредственном интегрированиидифференциальных уравнений, описывающих переходной процесс.
метод переменных состояния,представляющий упорядоченный способанализа переходного процесса в цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).
операторный метод,основанный на интегральных преобразованиях Лапласа,позволяющих сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменить решением простой системы алгебраических уравнений, записанной
В операторной форме.
метод наложения (метод интеграла Дюамеля),используемый при анализевоздействия на электрическую цепь тока или напряжения произвольной (сложной) формы.
|
|
|
6.4 Классический метод расчета переходных процессов. Основные положения Классический метод анализа переходных процессов основан на уравнениях состояния (уравнениях равновесия),составленных для мгновенных значений токов инапряжений согласно законам Кирхгофа или с помощью других методов расчета цепей. Так как мгновенные значения напряжений и токов в реактивных элементах цепи (индуктивных катушках и конденсаторах) связаны между собой дифференциальными (или интегральными) соотношениями (см. таблицу 1.1), то уравнение, описывающее переходной процесс в линейной цепи, является в общем случае линейным неоднородным
дифференциальным уравнением n - го порядка:
| a n | d n x(t ) | + a n−1 | d n −1 x(t) | +K + a1 | dx(t) | + a0 x(t )= f (t ), | (6.5) | |||||
| dt n | dt n −1 | dt | ||||||||||
| где x(t ) — искомая | функция времени | (ток, напряжение и др.); f (t ) | — функция, | |||||||||
описывающая влияние внешнего воздействия на цепь (ток или напряжение источника электрической энергии); a n , a n−1 , K , a1 , a0 — постоянные коэффициенты,
определяемые схемой цепи или параметрами ее элементов (величинами R , L и C ). Порядок составления дифференциального уравнения (6.5),определяющего
состояние электрической цепи в переходном режиме, следующий:
124
дифференциальное уравнение составляется для цепи после коммутации, т.е. при t ≥ 0 ;
если цепь одноконтурная, то уравнение составляется по 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений;
в случае многоконтурной цепи на основании 1-го и 2-го законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений составляется система уравнений, которая затем сводится к одному уравнению.
Согласно теории дифференциальных уравнений полное решение x(t)
уравнения(6.5)записывается в виде) = x(t)+ x * (t),(6.6)x(t
где x * (t ) — частное решение неоднородного уравнения (6.5) с правой частью f (t) ≠ 0 , x(t )— общее решение соответствующего однородного уравнения,получаемого изуравнения (6.5) путем замены нулем его правой части, т.е. при f (t ) = 0 :
| a n | d n x(t ) | + a n−1 | d n −1 x(t) | + K + a1 | dx(t) | + a0 x(t )=0. | (6.7) | |||||||||||||||
| dt n | dt n −1 | dt | ||||||||||||||||||||
| Общее | решение | | (t )однородного уравнения | (6.7) не | зависит от внешнего | |||||||||||||||||
| воздействия, | так как правая часть | f (t), | характеризующая это воздействие, | принята | ||||||||||||||||||
| равной нулю. | Поэтому процесс, определяемый функцией | | (t), | называется свободным | ||||||||||||||||||
| процессом,а сама функция |
| (t )— свободной составляющей,т.е. | | (t )= x св (t ). | ||||||||||||||||||
Свободные процессы возникают за счет изменения запаса энергии в индуктивных
« ёмкостных элементах цепи,а их характер определяется схемой цепи и параметрами ееэлементов.
Частное решение x * (t ) неоднородного уравнения (6.5), напротив, зависит только от вида входного воздействия f (t), т.е. при постоянном воздействии оно также будет
постоянным, при синусоидальном — синусоидальным и т. д. Поэтому функция x * (t) называется принужденной составляющей, т.е. x * (t) = x пр (t).
Общее решение (6.6) уравнения (6.5), следовательно, имеет вид:
x(t)= x св (t)+ x пр (t). (6.8)Соотношение (6.8) означает, что послекоммутационный процесс можно рассматривать как суперпозицию двух режимов — принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение
переходного процесса.
Метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях, основанный на представлении решения дифференциального уравнения (6.5) в виде суммы свободной и принужденной составляющих, называется классическим методом анализа.
Примечание –Поскольку начальный запас энергии в пассивных элементах цепи
| всегда ограничен, при наличии потерь в них, свободные процессы с течением времени | |||
| затухают,т.е. lim x (t )=0.Из формулы(6.8)тогда следует,что | |||
| t→+∞ | св | ||
| x пр (t)= x уст (t). | (6.9) | ||
| Это означает, | что принужденная | составляющая x пр (t ) | соответствует |
125
установившемуся режиму работы цепи x уст (t), поэтому может быть определена путем расчета стационарного состояния послекоммутационной схемы.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 228; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!