Ток и напряжение при параллельном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник токов



 

Для цепи синусоидального ток с параллельным соединением сопротивления R , индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может быть получено на основании 1-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме:

I&= I&R + I&L + I&C , (3.81)
где I&R , I&L и I&C — комплексы токов в элементах R , L и C , I& — комплексный ток в
неразветвленной части цепи (рисунок 3.15, а).  

 

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.15 – Схема с параллельным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник токов (б)

Обозначим I&а = I&R , I&р = I&L + I&C и перепишем уравнение (3.81) в форме

I&= I&а + I&р . (3.82)

Составляющую I&а , совпадающую по фазе с напряжением U& , называют активной

составляющей тока или активным током,а составляющую I&р ,сдвинутую

относительно напряжения на угол ± π 2 , — реактивной составляющей тока или реактивным током.


 

 

70


Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами

то токи I&R , I&L и I&C

         

I& = Ie j ψ i ,

 

U& = Ue j ψ u ,

               

в формуле (3.81) можно представить следующим образом:

   
I&

= gU&

= gUe j ψ u = I

R

e j ψ u ,

  I&

=− jb U&=− jb Ue j ψ u =− jI

L

e j ψ u ,    
R                     L   L           L          
            I&

= jb U&

= jb Ue j ψ u = jI

C

e j ψ u .

           
            C     C     C                          

Активный и реактивный ток, т.е. величины I&а

и I&р , тогда, равны:

       
  I& = I&   = I

а

e j ψ u ,     I&

= I&

+ I&   =− j(I

L

I

C

)e j ψ u =− jI

р

e j ψ u ,

(3.83)  
  а

R

        р   L

C

                   

 

откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного тока:

I а = Ug , I р = I L I C = U (b L b C )= Ub . (3.84)

Подставляя формулы (3.83) в уравнение (3.82) и учитывая комплексное

представление тока I& , получим  
Ie j ψ i =(I а jI р )e j ψ u  
или  
Ie j ϕ = I а jI р , (3.85)

где ϕ =ψ uψ i — угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул Эйлера (3.16) выражение (3.85) представимо в виде

 

Ie j ϕ = I cos ϕ jI sin ϕ . (3.86)

Из сравнения правых частей формул (3.85) и (3.86) следует:


 

I а = I cos ϕ ,

 

Полный ток I , выражением:


 

 

   

I р

    I

L

I

C

       
 

 

 

 

 

 

   

 

.

(3.87)

 
               

I р = I sin ϕ , ϕ = arctg

   

= arctg

   

I а

     
   

I а

                 
равный

модулю комплексного

тока

(3.85),

 

определяется

 
I =

I R2+(I L I C )2= I а2+ I р2.

              (3.88)  

 


Формулам (3.87), (3.88) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами I а , I р и гипотенузой I (рисунок 3.15, б). Этот треугольник называется

 

треугольником токов.

 

Построим для уравнения (3.81) векторную диаграмму. Как и в случае последовательной цепи, здесь возможны три варианта векторных диаграмм и, следовательно, три режима работы электрической цепи. Основные сведения об этих режимах представлены в таблице 3.5, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.16.

 

Таблица 3.5 – Режимы работы цепи с

параллельным соединением сопротивления,

 

индуктивности и ёмкости

       
           
Режим работы Активно-   Активно- Активный  
электрической цепи индуктивный   ёмкостный (резонансный)  
Соотношение между

I L > I C

 

I L < I C

I L = I C

 

I L и I C

   
         
Соотношение между

b L > b C

 

b L < b C

b L = b C

 

b L и b C

   
         

 


71


Продолжение таблицы 3.5

 

Режим работы Активно- Активно- Активный
электрической цепи индуктивный ёмкостный (резонансный)

 

Сила тока и

i = I m sin(ω t +ψ i ),

u = U m sin(ω t +ψ u )

 
напряжение          
Соотношение между ψ i <ψ u ,

ψ i >ψ u ,

ψ i =ψ u ,  
начальными фазами,

ϕ =ψ uψ i > 0

ϕ =ψ uψ i < 0

ϕ =ψ uψ i = 0

 
сдвиг фаз  
           

 

Из таблицы 3.5 следует, что при осуществлении условия b L = b C ( I L = I C ) в цепи

 

и параллельным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига фаз между общим напряжением и током (ϕ =ψ u ψ i =0).Данный режим работы параллельнойцепи называется резонансом токов.

 

 

а)                                                                 б)                                                                 в)

 

Рисунок 3.16 – Векторные диаграммы для активно- индуктивного (а), активно-ёмкостного (б) и резонансного (в) режимов работы параллельной цепи

 

3.11 Мощность в цепи синусоидального тока. Баланс мощностей Энергетические процессы в цепях переменного тока характеризуются мгновенной

мощностью,равной произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:

 

p = iu . (3.89)

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты

 

по фазе на угол ϕ . Не нарушая общности, примем начальную фазу силы тока ψ i = 0 , тогда из (3.12) следует, что начальная фаза напряжения ψ u = ϕ . При таком условии мгновенные значения напряжения и тока равны:

 

u = U m sin(ω t + ϕ ), i = I m sin ω t . (3.90)
Из (3.89) и (3.90) после несложных преобразований находим  
p = UI cos ϕ UI cos(2ω t + ϕ ). (3.91)

Из этого выражения видно, что мгновенная мощность в цепи синусоидального тока имеет постоянную составляющую и переменную, изменяющуюся во времени с удвоенной частотой.

 

Активная мощность

 

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью:


 

72


P =

1

T

p(t )dt .

(3.92)

 
T  

0

     

Единица измерения активной мощности: [ P ] = 1Вт (ватт). Для цепи синусоидального тока после подстановки в формулу (3.92) выражения для мгновенной мощности (3.91) и интегрирования получим:

P = UI cos ϕ . (3.93)

Учитывая соотношения (3.76), (3.79) (3.84) и (3.87), на основании (3.93) можно доказать , что активная мощность может быть рассчитана также по одной из следующих формул:

P = I U , P = IU

а

, P = I 2 R , P = U 2 g . (3.94)  
а        

Примечание –Физический смысл активной мощности заключается в том,что онахарактеризует ту энергию, которая передается от источника к приемнику и безвозвратно преобразуется в другие формы энергии(например,в тепловую).

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 277; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!