Комплексная форма законов Кирхгофа

 

Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, определяют законы Кирхгофа.

 

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

 

По 1-му закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:

p
∑
i k =0,	(3.69)

k=1

 

где p — число ветвей, сходящихся в узле. Используя символическое представление

каждого из токов i k , определяемое выражением i k = Im{		2I&k e j ω t }, формулу (3.69)
запишем так:
p
∑
I&k	= 0 .	(3.70)

k =1

 

Соотношение (3.70) дает математическое выражение 1-го закона Кирхгофа в комплексной форме.

 

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных токов в любомузле цепи синусоидального тока равна нулю.

 

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

 

По 2-му закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура в каждый момент времени равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в контуре:

n		m
∑	u k =	∑	e k ,	(3.71)
k =1		k =1

где n — число пассивных элементов контура, m — число действующих в нем ЭДС. Используя символические представления напряжения u _k и ЭДС e _k , определяемые

выражениями u _k = Im{ 2U^& _k e ^{j ω t} } и e _k = Im{ 2E^&_k e ^{j ω t} }, формулу (3.71) запишем так:

n	m	n		m
∑U& k =∑E&k ,		∑I&k	Z	k =∑E&k ,	(3.72)
k =1	k =1	k =1		k =1

где Z _k — комплексное сопротивление k - й ветви контура.

 

Соотношение (3.72) дает математическое выражение 2-го закона Кирхгофа в комплексной форме.

 

 

67

Второй закон Кирхгофа : в замкнутом контуре электрической цепиалгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме комплексных ЭДС, действующих в контуре.

 

Ток и напряжение при последовательном соединении сопротивления, индуктивности и ёмкости. Треугольник напряжений

 

Для цепи синусоидального тока с последовательным соединением сопротивления R ,индуктивности L и ёмкости C уравнение электрического состояния может бытьполучено на основании 2-го закона Кирхгофа, записанного в комплексной форме:

U&= U& R +U& L +U&C ,	(3.73)
где U& R , U& L и U&C — комплексные напряжения на элементах	R , L и C , U&—
комплексное напряжение источника (рисунок 3.13, а).

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 3.13 – Схема с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости (а) и треугольник напряжений (б)

 

Обозначим U^& _а = U _R , U^& _р = U^& _L + U^&_C и перепишем уравнение (3.73) в форме

U&= U& а +U& р .		(3.74)
Составляющую U& а , совпадающую по	фазе с током	I&,называют активной
составляющей напряжения или активным	напряжением,	а составляющую U& р ,

сдвинутую относительно тока на угол ± π 2 , — реактивной составляющей напряжения или реактивным напряжением.

 

Если комплексный ток и комплексное напряжение заданы в показательной форме равенствами

_I& = _Ie ^{j ψ} i _{, U}&= _Ue ^{j ψ} u _,

то напряжения U^& _R , U^& _L и U^&_C в формуле (3.73) можно представить следующим образом:

U& R = RI&= RIe j ψ i	= U R e j ψ i , U& L = jX L I&= jX L Ie j ψ i	= jU L e j ψ i ,
U&C =− jX C I&=− jX C Ie j ψ i =− jU C e j ψ i .
Активное и реактивное напряжение, т.е. величины U& а и U& р , тогда, равны:
U& а = U& R = U а e j ψ i ,	U& р = U& L + U&C = j(U L −U C )e j ψ i	= jU р e j ψ i ,	(3.75)

откуда следуют соотношения для действующих значений активного и реактивного напряжений:

 

 

68

U а = IR , U р = U L −U C = I (X L − X C )= IX .	(3.76)
Подставляя формулы (3.75) в уравнение (3.74) и учитывая комплексное
представление напряжения U& , получим
Ue j ψ u =(U а + jU р )e j ψ i
или
Ue j ϕ = U а + jU р ,	(3.77)

где ϕ =ψ _u −ψ _i — угол сдвига фаз между напряжением и током. На основании формул

 

Эйлера (3.16) выражение (3.77) представимо в виде
Ue j ϕ = U cos ϕ + jU sin ϕ .	(3.78)

Из сравнения правых частей формул (3.77) и (3.78) следует:

U р			U		L	−U	C
Uа = U cos ϕ , U р = U sin ϕ , ϕ = arctg			= arctg		U а			.
U а

Полное напряжение U , равное модулю комплексного напряжения определяется выражением

 

U =  U _R²+(U _L −U _C )²=  U _а²+U _р².

 

 

(3.79)

 

(3.77),

 

 

(3.80)

 

Формулам (3.79), (3.80) можно сопоставить прямоугольный треугольник с катетами U _а , U _р и гипотенузой U (рисунок 3.13, б). Этот треугольник называется

 

треугольником напряжений.

 

Построим для уравнения (3.73) векторную диаграмму. В зависимости от соотношения между величинами U^& _L и U^&_C возможны три варианта векторной

диаграммы и, следовательно, три режима работы данной электрической цепи . Основные сведения об этих режимах приведены в таблице 3.4, а соответствующие им векторные диаграммы — на рисунке 3.14.

 

Таблица 3.4 – Режимы	работы цепи	с	последовательным		соединением сопротивления,
индуктивности и ёмкости
Режим работы	Активно-			Активно-			Активный
электрической цепи	индуктивный			ёмкостный			(резонансный)
Соотношение между	U L > U C			U L < U C			U L = U C
U L и U C
Соотношение между	X L > X C			X L < X C			X L = X C
X L и X C
Сила тока и	i = I m sin(ω t +ψ i ),				u = U m sin(ω t +ψ u )
напряжение
Соотношение между	ψ i <ψ u ,			ψ i >ψ u ,			ψ i =ψ u ,
начальными фазами,	ϕ =ψ u −ψ i	> 0		ϕ =ψ u −ψ i < 0			ϕ =ψ u −ψ i = 0
сдвиг фаз
Из таблицы 3.4 следует, что при осуществлении условия						X L = X C (U L = U C )в
цепи с последовательным соединением элементов R , L и C не наблюдается сдвига
фаз между общим	напряжением	и	током (ϕ =ψ u		−ψ i = 0 ), так что влияния

индуктивности и ёмкости оказываются взаимно скомпенсированы и цепь в отношении

 

69

протекающего через нее тока ведет себя как чисто активная нагрузка. Данный режим работы последовательной цепи называется резонансом напряжений.

 

 

а)                                                                    б)                                                                в)

 

Рисунок 3.14 – Векторные диаграммы для активно- индуктивного (а), активно-ёмкостного (б) и резонансного (в) режимов работы последовательной цепи

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 646; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!