Порядок расчета электрической цепи методом наложения



 

1) Обозначить на схеме цепи действительные токи в ветвях и произвольно выбрать их положительные направления.

2) Исходную схему с несколькими источниками ЭДС представить совокупностью расчетных схем,в каждой из которых действует только одна ЭДС.При этом всеостальные источники ЭДС из текущей расчетной схемы следует исключить, оставив лишь их внутренние сопротивления.

 

3) В ветвях каждой расчетной схемы определить токи, возникающие от действия только одной ЭДС — частичные токи.

4) Действительные токи ветвей исходной схемы рассчитать как алгебраическиесуммы (наложения) соответствующих частичных токов расчетных схем. При этом те частичные токи, направления которых совпадут с направлениями действительных токов, войдут в указанные алгебраические суммы со знаком «+», в противном случае — со знаком «–».

 

На рисунке 2.17 представлена схема электрической цепи с двумя источниками ЭДС, расчет которой методом наложения может быть выполнен на основании расчетных схем, изображенных на рисунке 2.18.

 

 

Рисунок 2.17 – Исходная                        Рисунок 2.18 – Расчетные схемы с частичными

 

схема                                                                     токами

 

Принимая направления действительных токов I1 , I2 , I3 в исходной схеме

 

рисунка 2.17 за положительные, выполним алгебраическое суммирование (наложение)

частичных токов расчетных схем, изображенных на рисунке 2.18:

I1= I1′ − I1′′,    I2=−I2′+ I2′′,     I3= I3′+ I3′′.

 

Здесь I1′, I2′ , I3′ означают частичные токи первой расчетной схемы, I1′′, I2′′, I3′′ — частичные токи второй расчетной схемы.

 

Примечание –Принцип наложения применим для расчета линейныхэлектрических цепей не только по токам, но и по напряжениям, так как они линейно связаны с токами. Для расчета мощности этот принцип применять нельзя, так как мощность является не линейной, а квадратичной функцией тока или напряжения:

 

P = I 2 R или P = U 2 R .

 

Метод узловых потенциалов

 

Если для произвольной электрической цепи известны потенциалы всех ее узлов,


 

 

36


то ток I в любой ветви этой цепи можно определить по закону Ома:  
I =(± E + ϕ a ϕ b )g , (2.41)

где E — величина ЭДС, ϕ a и ϕ b — потенциалы узлов « a » и « b » схемы, g — полная проводимость ветви, подсоединенной к этим узлам.

Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимаются потенциалы узлов схемы , называется методом узловых потенциалов. Для упрощения расчетов один из узлов схемы предварительно заземляют, полагая его потенциал равным нулю. Если, например, электрическая цепь содержит n +1 узлов и потенциал

 

ϕ n+1 = 0 , то потенциалы остальных узлов ϕ1 , ϕ2 , … , ϕ n схемы относительно опорного (или базового) узла с потенциалом ϕ n+1 определяются из системы уравнений:

 

   

G11ϕ1+ G12ϕ2+K+ G1n ϕ n = J11;

 
    G21ϕ1+ G22ϕ2+K+ G2n ϕ n = J22 ;      
     

(2.42)

 
    ...............................................        
     

;

     
    G n1ϕ1+ G n2ϕ2+K+ G nn ϕ n = J nn      

где G kk ( k =

 

) — собственная проводимость узла k ,

G km ( k ,m =

 

, km ) —

 
1,n 1,n  

проводимость связи узлов k и m , J kk узловой ток k - го узла.

Закон Ома (2.41) и система уравнений (2.42) составляют математическую основу

 

метода узловых потенциалов.

Система уравнений узловых потенциалов (2.42) может быть представлена в

матричной форме:  
G ϕ = J , (2.43)

где G — квадратная матрица проводимостей цепи порядка n , ϕ — матрица-столбец искомых потенциалов узлов, J — матрица-столбец узловых токов, причем


G11

G

G =21

M

 

G n1


 

 

G12 K G1n  

ϕ1

 

J11

 
G22 K G2n , ϕ = ϕ2   , J = J22 .  

M

               
MM   M     M    
G n2 K G nn  

ϕ n

 

J nn

 

 


Решение матричного уравнения (2.43) определяет равенство

 

ϕ = G -1 J ,                                                                           (2.44)

 

где G-1 — матрица обратная к G .

 

Примечания

 

1 Собственная проводимость G kk ( G kk > 0 ) узла k равна сумме проводимостей

 

всех ветвей, сходящихся в этом узле.

3 Проводимость связи G km ≤ 0 ( G km = G mk ) узлов k и m равна взятой со знаком «–» сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы. Если между узлами k и

m нет соединяющей их ветви, проводимость связи G km = 0 . 4 Узловой ток J kk узла k определяется равенством

p q  

J kk = E i g i +J i ,

(2.45)
i=1 i=1  

 


 

37


где E i и g i — величина ЭДС и проводимость ветви, присоединенной к узлу k , J i — ток источника тока, также присоединенного к этому узлу. ЭДС E i и ток J i в

 

формуле (2.45) берутся со знаком «+», если они направлены к рассматриваемому узлу, со знаком «–», если они направлены от узла.

 

 

Рисунок 2.19 – Схема, иллюстрирующая применение метода узловых потенциалов

 

Схема, изображенная на рисунке 2.19, содержит 3 узла, обозначенные цифрами 1, 2 и 3. Если положить потенциал ϕ3 = 0 , то потенциалы 2-х остальных узлов ϕ1 и ϕ2 являются решением следующей системы уравнений:

G11ϕ1+ G12ϕ2= J11;

 

G21ϕ1+ G22ϕ2= J22.

 

При этом G11= g1+ g2+ g3, G12= G21=−g3,

G22= g3+ g4+ g5,

 

J11= E1 g1 E3 g3 J6+ J7, J22= E3 g3 E4 g4+ E5 g5 J7,где

g i =1 R i ( i =

 

) —

 
1,5  

проводимости ветвей схемы с сопротивлениями R1 , R2 , R3 , R4

и R5 , токи в которых

 

можно рассчитать согласно формуле (2.41):

I1=(ϕ 3 ϕ1+ E1)g1, I2=(ϕ3 ϕ1)g2, I3=(ϕ1 ϕ2+ E3)g3,

I4=(ϕ2 ϕ3+ E4)g4, I5=(ϕ2 ϕ3 E5)g5.

 

Метод двух узлов

 

В разветвленной электрической цепи с двумя узлами все ветви соединены параллельно и находятся под действием одного и того же (узлового) напряжения (рисунок 2.20). Метод расчета электрических цепей, в котором за промежуточную переменную принимают напряжение между двумя узлами схемы,

называется методом узлового напряжения или методом двух узлов.

Расчетный алгоритм метода двух узлов может быть построен на основании метода узловых потенциалов как его частный случай. Действительно, полагая в схеме

 

рисунка 2.20 ϕ2 = 0 , легко получить формулу для расчета узлового напряжения U0= ϕ1 ϕ2из системы уравнений(2.42).Эта система уравнений в применении к схемерисунка 2.20 вырождается в одно уравнение вида G11ϕ1 = J11 , из которого согласно (2.45) следует формула


 

38


    m  

p

   

U0

=

E k g k

+J k

   
k =1   k =1

,

(2.46)

 
  n    
     

g k

   

где ЭДС E k и ток источника

J k

  k =1        

берутся

со знаком «+», если их

направления  

противоположны направлению узлового напряжения U0 , со знаком «–», если их направления совпадают.

 

Рисунок 2.20 – Схема, иллюстрирующая применение метода двух узлов

 

Ток в каждой ветви схемы с двумя узлами определяется по формуле

аналогичной (2.41), которая в данном случае имеет вид:  
I k =(± E k ± U0)g k , (2.47)

где ЭДС E k и узловое напряжение U0 записывают со знаком «+», если их направления совпадают с током I k , со знаком «–», если противоположны току.

Для схемы, изображенной на рисунке 2.20, например, узловое напряжение равно:

   

U0=

E1g1 E3 g3+ E4 g4+ E6 g6 J2+ J5

,

 
       

а токи I1

, I3 , I4 и I6

 

g1+ g3+ g4+ g6

 

рассчитываются согласно формулам

 
I1= ( E1+ U0)g1,

I3=(− E3U0)g3, I4=(− E4+U0)g4, I6=( E6U0)g6.

 

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 1076; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!