Порядок расчета электрической цепи методом контурных токов

1) Обозначить на схеме цепи действительные токи в ветвях и произвольно выбрать их положительные направления.

2) Выбрать n = p − m − k +1 независимых контуров электрической цепи и произвольно задаться направлением контурных токов в них.

3) Для каждого выбранного контура относительно протекающих в его ветвях контурных токов составить уравнение по 2-му закону Кирхгофа. При этом положительное направление обхода контура полагать совпадающим с направлением соответствующего контурного тока.

4) Решить полученную систему уравнений относительно неизвестных контурных

токов.

5) Действительный ток в каждой ветви определить как алгебраическую сумму контурных токов, замыкающихся через эту ветвь. При этом те из контурных токов, направления которых совпадут с направлением действительного тока, войдут в указанную алгебраическую сумму со знаком «+», в противном случае — со знаком «–».

Схема цепи, изображенная на рисунке 2.16, имеет n = 2 независимых контура, в

которых циркулируют два контурных тока: I₁₁

— контурный ток 1-го контура и I₂₂ —

контурный ток 2-го контура. Эти токи являются решением системы уравнений

( R₁+ R₂

+ R₄)I₁₁− R₂ I₂₂= E₁+ E₂;

(2.33)

− R I

+( R

+ R

+ R )I

=−E

− E .

Действительные токи I₁ ,

I₂,

I₃

ветвей (см. рисунок 2.16) определятся линейными

комбинациями контурных токов:

I₁= I₁₁, I₂= I₁₁− I₂₂, I₃=−I₂₂.

Рисунок 2.16 – Схема, иллюстрирующая применение метода контурных токов

Обобщая систему уравнений (2.33) на случай электрической цепи с произвольным количеством независимых контуров n , можно получить следующую систему для определения контурных токов I₁₁ , I₂₂ , … , I _nn :

R₁₁I₁₁+ R₁₂ I₂₂+K+ R_1n I _nn = E₁₁;

R21I11+ R22 I22+^K+ R2n I nn = E22;

(2.34)

...............................................

^R n1^I11⁺ ^R n2 ^I22⁺^K⁺ ^R nn ^I nn ⁼ ^E nn ^.

Здесь R _kk ( k =

) —

собственное

(полное)

сопротивление k - го

контура,

1,n

R _km ( k ,m =

и k ≠ m ) — сопротивление связи

контуров с

номерами

k и m

1,n

(сопротивление смежной ветви), E _kk ( k =

) — контурная ЭДС k - го контура.

1,n

Так, например, в системе уравнений (2.33) контурные сопротивления

^R11 ^и ^R22

равны: R₁₁ = R₁ + R₂ + R₄ ,

R₂₂= R₂+ R₃+ R₅;сопротивления

связи:

R₁₂=−R₂,

R₂₁=−R₂;контурные ЭДС:

E₁₁= E₁+ E₂,

E₂₂=−E₂− E₃.

Система контурных уравнений (2.34) может быть представлена в матричной

форме:

RI = E ,

(2.35)

где R — квадратная матрица сопротивлений цепи порядка n , I

— матрица-столбец

искомых контурных токов, E — матрица-столбец контурных ЭДС, причем

R₁₁

_R=²¹

R _n₁

^R12	K R_1n		I₁₁		E₁₁
^R22	K R_2n	,	_I ₌ ^I22	,	_E ₌ ^E22	.
M
M	MM		M		M
^R n2	^K^R nn		^I nn		^E nn

Решение матричного уравнения (2.35) определяет равенство
I = R ^-1 E ,	(2.36)

где R ^-1 — матрица обратная к R .

Решение системы уравнений (2.34) можно также записать и через определители, т.е. на основании метода Крамера:

^E11

^R12

K R_1n

^R11

^R12

K E₁₁

^I11

^E22

^R22

K R_2n

, K , I _nn =

^R21

^R22

K E₂₂

(2.37)

Символом

^E nn

^R n2

K R _nn

^R n1

^R n2

K E _nn

здесь обозначен

главный

определитель

системы

алгебраических

уравнений (2.34) (определитель матрицы R ):

^R11

^R12

K R_1n

= det R=

^R21

^R22

^K ^R2n _.

(2.38)

^R n1 ^R n2^K ^R nn

Формулам (2.37), (2.38) можно придать более компактную форму, если разложить числитель каждой из дробей (2.37) по элементам столбца, в котором собраны значения контурных ЭДС:

^I kk ⁼ ^E11

⁺ ^E22

+K + E _nn

(2.39)

где

_mk ( m =

) — алгебраическое дополнение элемента R _mk

определителя (2.38):

1,n

_mk = (−1)^m⁺^k

^* _mk .

(2.40)

Здесь

обозначает минор элемента R _mk ,

т.е.

определитель,

полученный

из

вычеркиванием его m - й строки и k - го столбца.

Примечания

R _kk >0контура с номером k

равно сумме всех

1 Собственное сопротивление

сопротивлений, образующих этот контур.

2 Сопротивление связи

^R km

( R _km = R _mk )

равно

алгебраической

сумме

сопротивлений, включенных в ветвь, являющуюся общей для контуров с номерами k и m .Эту величину в системе уравнений(2.34)записывают со знаком«+»,еслинаправления контурных токов I _kk и I _mm , замыкающихся через рассматриваемую ветвь,

совпадают. В противном случае сопротивлению R _km приписывают знак «–». Если контуры k и m не имеют общих ветвей, сопротивление связи R _km = 0 .

3 Контурная ЭДС E _kk контура с номером k равна алгебраической сумме всех

ЭДС, присутствующих в этом контуре, причем со знаком «+» берутся те из них, направления которых совпадают с направлением обхода контура k (с направлением контурного тока I _kk ). В противном случае входящие в E _kk ЭДС берутся со знаком «–».

4 В системе уравнений (2.34), а также в эквивалентном ей матричном уравнении (2.35) предполагается, что источники энергии заданы в виде источников ЭДС. Если же по условию задачи часть источников будет задана в виде источников тока, то перед началом расчета их целесообразно преобразовать в эквивалентные источники ЭДС согласно формулам (2.10).

Принцип и метод наложения

Метод наложения позволяет определить токи в ветвях электрической цепинепосредственно по закону Ома. Этот метод основан на принципе наложения (или

суперпозиции),суть которого состоит в том,что ток в любой ветви линейнойэлектрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, можно рассматривать как алгебраическую сумму частичных токов, созданных в этой ветви действием каждой ЭДС в отдельности.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 465; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 91011 12 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!