Расчет на прочность и подбор сечения балки
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Саратовский государственный технический университет
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ДЕТАЛЕЙ МАШИН ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
Методические указания к выполнению курсовой работы
по курсу «Основы конструирования деталей машин»
для всех форм обучения
Одобрено
редакционно-издательским советом Саратовского государственного технического университета
Саратов 2009
Общие понятия
Изгибом называется деформация бруса, сопровождающаяся искривлением его оси или изменением кривизны оси, если до деформации она была кривой линией.
Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Если поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, а все внешние силы действуют в плоскости симметрии балки, то такой изгиб называется плоским или прямым изгибом.
Нагрузки, воспринимаемые балкой, сводятся к сосредоточенным силам F (Н, кН), парам сил М (кН м) и распределенным по длине балки нагрузкам с интенсивностью q и qx (Н/м, кН/м) (рис.1, а, б).
Рис.1. Нагрузки, распределенные по длине балки:
а) равномерно распределенная; б) неравномерно распределенная 
Нагрузки, действующие на балку, уравновешиваются опорными реакциями, которые зависят от опор балки. Различают три типа опорных связей:
1. Шарнирно-неподвижная опора, позволяющая опорному сечению балки поворачиваться в одной плоскости относительно оси цилиндрического шарнира и не допускающая поступательного перемещения конца балки ни по вертикали, ни по горизонтали. Нa такой опоре возникают две составляющие опорной реакции XA, YA (рис. 2, а).
|
|
|
2. Шарнирно-подвижная опора (рис. 2, б) допускает перемещения в одном направлении и поворот сечения над опорой вокруг шарнира. Реакция такой опоры RA направлена вдоль опорной связи.
3. Заделка – опора, не допускающая поворота сечения балки и его перемещений по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 2, в).
Рис. 2. Типы опорных связей
Реакции в заделке определяются горизонтальной XA, вертикальной YA составляющими и опорным моментом М.
Для расчета балки необходимо знать все действующие на неё активные и реактивные силы. По заданной нагрузке определяются опорные реакции, для нахождения которых используются уравнения статики.
Балки, в которых число уравнений равновесия достаточно для определения всех опорных реакций, называются статически определимыми.
Расчет балки на прочность производится по наибольшему нормальному напряжению, возникающему в поперечном сечении. Для вычисления напряжений необходимо выявить внутренние усилия в сечениях балки, найти их величину.
|
|
|
Метод сечений, используемый для определения внутренних усилий, позволяет заключить, что в поперечном сечении балки возникают два усилия: изгибающий момент М x, поперечная сила Qx. Такой изгиб называется поперечным. Если изгибающий момент в поперечном сечении балки является единственным усилием, то имеет место чистый изгиб.
Для определения внутренних усилий используются уравнения равновесия, из которых следует:
1) поперечная сила Qx в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения на ось, перпендикулярную оси балки;
2) изгибающий момент М x в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно его центра тяжести.
Поперечная сила обусловливает возникновение касательных напряжений в поперечном сечении балки, изгибающий момент – нормальных напряжений.
Для расчета балки на прочность следует найти то сечение, где изгибающий момент достигает максимального значения и соответственно нормальные напряжения будут наибольшими. Это опасное сечение балки легко установить с помощью эпюр изгибающих моментов и поперечных сил, то есть графиков, показывающих изменение М x и Qx по длине балки.
|
|
|
Эпюра изгибающих моментов строится на растянутом волокне изгибаемой балки, при этом положительные ординаты М x откладываются от нулевой линии вниз, отрицательные – вверх. На эпюре Qx положительные ординаты вверху, а отрицательные – внизу от нулевой линии балки.
Изгибающий момент в поперечном сечении балки положителен, если он вызывает растяжение нижних волокон балки, балка изгибается выпуклостью вниз.
Поперечная сила в сечении балки положительна, если она стремится повернуть отсеченную часть балки относительно центра тяжести сечения «с» по ходу часовой стрелки.
Рис. 3. Правила знаков для изгибающего момента и поперечной силы:
с – центр тяжести сечения
Контроль построения эпюр Qx и Mx
Для правильного построения эпюр QX и MX, а так же их контроля необходимо знать зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом в любом сечении балки, а также связь этих величин с нагрузкой, приложенной к балке. Из дифференциальной зависимости (1) следует, что интенсивность распределенной нагрузки равна первой производной от поперечной силы по абсциссе
|
|
|
(1)
Поперечная сила в любом сечении балки может быть определена, если известна функция изгибающего момента на данном участке балки:
. (2)
Из уравнений (1) и (2) следует зависимость:
, (3)
где интенсивность распределенной нагрузки равна второй производной от изгибающего момента по абсциссе.
Используя зависимости (1)–(3), можно показать, что если на некотором участке балке отсутствует распределенная нагрузка q=0, то поперечная сила на данном участке Qх= const, а изгибающий момент изменяется по линейному закону Mx= Cx+ D, где C и D – постоянные интегрирования. Если на балку действует равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила на данном участке изменяется по линейному закону 
, а изгибающий момент по квадратичной параболе 
. Если поперечная сила меняет знак с «+» на «–» и в каком-то сечении балки 
, то в этом сечении функция момента имеет экстремум 
.
При действии на балку равномерно распределенной нагрузки эпюра Мх очерчивается кривой, имеющей вогнутость под нагрузку при построении эпюры Mx на растянутом волокне (рис. 4).
Рис. 4. Определение вогнутости кривой, ограничивающей эпюру Мх
При неравномерно распределенной нагрузке эпюры Qх и Mх будут ограничены кривыми, характер которых зависит от вида нагрузки.
В сечениях балки под сосредоточенными силами, парами сил на эпюрах усилий имеются «скачки» на величину сосредоточенной силы на эпюре Qх и на величину момента на эпюре Мх.
На свободном конце консольной балки изгибающий момент равен нулю, если там нет сосредоточенной пары сил. При отсутствии в концевом сечении консоли сосредоточенной силы, поперечная сила в этом сечении равна нулю.
Расчет на прочность и подбор сечения балки
При расчете балки по допускаемым напряжениям прочность балки считается обеспеченной, если наибольшее нормальное напряжение в опасном сечении балки не превосходит допускаемое, то есть условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид
, (4),
где 
– максимальный изгибающий момент (по абсолютной величине) снимается с эпюры М
– допускаемое напряжение при изгибе;
– момент сопротивления при изгибе;
– момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;
– расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленных от неё точек.
Для балки сплошного круглого поперечного сечения определяется необходимый диаметр из условия прочности (4):
(5)
Требуемый момент сопротивления двутаврового поперечного сечения балки из условия прочности определяется следующим образом:
(6)
Для типовых сечений 
определяется по формулам из таблицы геометрических характеристик для различных сечений.
По вычисленному значению находим по ГОСТ 8239-89 номер двутавровой балки с моментом , близким к расчетному (Приложение 2).
Если балка имеет прямоугольное поперечное сечение, то задаются соотношением его сторон соответственно высота и ширина сечения 
и определяется требуемый размер из (6).
Геометрические характеристики для различных сечений
| Форма сечения | Осевой момент инерции сечения  , см4
| Момент сопротивления сечения , см3
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Для балок, имеющих круглое и прямоугольное сечение, 
определяется с учетом принятых окончательно размеров по ГОСТ 6636-63.
После подбора размеров поперечного сечения балки необходимо выполнить проверку балки по зависимости (4). Перегрузка балки допускается в пределах +5%:
≤ 5%. (7)
Пример 1.
Для заданной схемы балки требуется написать выражения Qх и Mх для каждого участка в общем виде. Построить эпюры этих усилий, найти М max и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при 
.
Рис. 5. Схема заданной балки
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Рис. 6. Расчетная схема балки
Порядок выполнения работы
1. Определение реакций.
В опорах балки возникают реакции RA (составляющие XA, YA) и RВ.
Поскольку все силы перпендикулярны оси х балки, то XA=0. Для нахождения YA, RB составим два уравнения равновесия, приравняв нулю суммы моментов всех сил относительно точек А и В, заменив при этом равномерно распределенную на участке нагрузку равнодействующей, приложенной по середине этого участка.
Для проверки полученных значений реакций спроецируем все силы на ось Y:
; 
; 
; 
.
Реакции определены верно.
2. Определение усилий.
В соответствии с нагрузкой, действующей на балку, устанавливаем, что она имеет 4 различных силовых участка, для которых необходимо составить аналитические выражения поперечной силы Qx и изгибающего момента Mx. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы и моменты, начало и конец распределенной нагрузки.
Первый участок, сечение I- I 
.
Рис. 7. Отсеченная часть балки первого участка:
с – центр тяжести сечения
Используя правило знаков для Qх и Mх, а также принцип независимости действия сил, получим выражения усилий Qх и моментов Mх от действия каждой силы в отдельности для первого участка (8, 9). Для этого мысленно закрепим отсеченную часть балки длиною х1 относительно точки «с» и приложим к отсеченной части балки реакцию YA (рис. 8).
Рис. 8. Расчетная схема для нахождения Q х и M х от действия реакции YA
Поперечная сила равна сумме внешних сил, расположенных слева от сечения I- I. Составим уравнение равновесия:
(8)
В уравнении (8) 
так как отсеченная часть балки поворачивается относительно «с» по часовой стрелке.
При составлении выражения 
учитываем то обстоятельство, что участок деформируется (изгибается) выпуклостью вниз, то есть в уравнении (9) изгибающий момент будет положителен. Составим уравнение равновесия:
(9)
Рассмотрим действие равномерно распределенной нагрузки на участок балки длиною х.
Рис. 9. Расчетная схема для нахождения Q х и M х от действия равномерно распределенной нагрузки
От действия равномерно распределенной нагрузки участок изгибается выпуклостью вверх (рис. 9, а), то есть изгибающий момент будет отрицателен. Равнодействующая распределенной нагрузки на длине х будет равна 
, а плечо до равнодействующей равно 0,5х (рис. 9, б). Поперечная сила 
отрицательна, так как отсеченная часть стремится повернуться относительно точки «с» против хода часовой стрелки:
Итак, для первого участка:
при х = 0 
при х=1,5 м 
Из аналитических зависимостей для Qх и Mх следует, что на данном участке поперечная сила изменяется по линейному, а изгибающий момент по параболическому законам. В сечении, где поперечная сила равна 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение. Для определения величины Ммах предварительно найдем значение x, при котором момент будет принимать экстремальное значение:
при х = 1 м 
Второй участок, сечение II- II
при х=1.5 м
при х=2 м
Третий участок, сечение III- III
Четвертый участок, сечение IV- IV
при х=0.5 м
при х=1 м
На данном участке поперечная сила Qx постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
3. Эпюры усилий.
По найденным значениям Qх и Mх строим эпюры этих величин
(рис. 10).
4. Подбор сечения балки.
Из условия прочности при изгибе определяется требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки:
.
В нашем случае 
= 20 кНм,
По найденному значению W=125 см3 из ГОСТ 8239-89
(Приложение 2) подбираем двутавр №16 с моментом сопротивления Wx=109см3.
Определяется максимальное напряжение в поперечном сечении балки
Перегрузка балки составляет
что недопустимо, так как 14,4 % > 5%. Берем двутавр №18 с Wx=143 см3, тогда
.
Балка будет работать при недогрузке
Рис. 10. Эпюры поперечной силы и изгибающего момента
Получив навыки составления и использования аналитических зависимостей для Qх и Mх можно построить эпюры этих усилий не прибегая к составлению уравнений, а ограничиться вычислением значений Qх и Mх в характерных сечениях балки с использованием выводов из дифференциальных зависимостей (1)-(3). Так, из последних следует, что приращение изгибающего момента на некотором участке балки равно площади эпюры Qх на данном участке. Тогда изгибающий момент Mх в произвольном сечении балки найдём следующим образом:
Мх =Мо +А Qх, (10)
где Мо – изгибающий момент в начале участка, AQx – площадь эпюры на данном участке.
Рассмотрим этот прием на примере балки, показанной на рис. 11.
Пример 2.
Рис. 11. Эпюры Q х и M х
Итак, при построении эпюры Qх следуем по балке слева направо «за силой», то есть если сила направлена вверх, то её значение откладываем от базовой линии в этом же направлении – вверх и наоборот.
При построении эпюры для Qх справа налево идем «против силы», то есть значение силы откладываем от базовой линии в направлении, противоположном её действию.
Данная балка имеет два силовых участка: I участок длиною l1 и II участок длиною l2 будем строить эпюру поперечных сил Qх слева направо. В начале первого участка сила F1 = 2 кН действует вверх, откладываем её значение в масштабе в этом же направлении от базовой линии. Далее начинает действовать равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью 
, которая направлена вниз, тогда в конце первого участка: 
. Откладываем значение поперечной силы 
вниз от базовой линии и соединяем значения Qх =2 кН и
Qх =-2 кН.
Переходим ко второму участку. На границе участков I и II в сечении b поперечная сила скачкообразно возрастает на 6 кН, так как по условию задачи в этом сеченииприложена направленная вверх сосредоточенная сила F2 =6 кН. Откладываем значение этой силы от величины Qx = -2 кН вверх. Таким образом, значение поперечной силы в сечении b от базовой линии становится равным Qx = 4 кН. Перемещаясь к заделке при отсутствии других сил, поперечная сила остается равной Qx = 4 кН. В итоге мы получили реакцию в заделке R = 4 кН, которая показана на рис. 11 пунктиром.
При построении эпюры изгибающего момента используем зависимость (10) и определим Mx в сечении а при l= 1м, где Qx = 0. В начале первого участка Mo = 0, Qo = 2 кН. Площадь эпюры на участке оа: 
Изгибающий момент в сечении а равен
Изгибающий момент в сечении b равен
На участке о b, где действует равномерно распределенная нагрузка, Mx изменяется по квадратичной параболе. Эпюру Mx строим на растянутом волокне, положительные значения Mx откладываем вниз от базовой линии.
В сечении b на границе I и II участков приложен сосредоточенный момент М = 6 кН, поэтому в этом сечении изгибающий момент скачкообразно возрастает на эту величину и становится равным в начале участка М b = - 6 кНм (знак «-» растянуто верхнее волокно), в конце II участка в сечении с изгибающий момент равен
Строим эпюру М x на втором участке: откладываем значение
М b= - 6 кНм вверх от базовой линии в начале II участка в сечении b и в конце этого участка Мс = 2 кНм вниз (растянуто нижнее волокно). Точки соединяем прямой, так как Mх изменяется по линейному закону. С эпюры Mх снимаем момент в заделке М=2 кНм.
Пример 3.
Для балки, изображенной на рис. 11, подобрать прямоугольное, сплошное круглое, кольцевое сечение с отношением диаметров 
при 
. Для опасного сечения балки построить эпюру напряжений.
Оценить экономичность каждого профиля сечения балки.
Рис. 12. Типы поперечных сечений
Из условия прочности (4) определяется требуемый момент сопротивления сечения:
В нашем случае 
(значение 
берется с эпюры Мх).
Удерживая знак равенства, получаем:
По найденному значению 
подбираем поперечные сечения:
1. Прямоугольное сечение: при заданных значениях 
находим момент сопротивления сечения 
Согласно ГОСТ 6636-69 принимаем В = 4,4 см, Н = 8,8 см, площадь прямоугольного поперечного сечения
2. Сплошное круглое поперечное сечение: момент сопротивления сечения
принимаем 
. Находим площадь сечения:
3. Кольцевое поперечное сечение: момент сопротивления сечения кольца:
принимаем 
, площадь сечения кольца:
По расходу материала можно оценить экономичность каждого профиля балки. Для балок одинаковой длины, изготовленных из одного и того же материала, но различного профиля расход материала пропорционален площади сечения:
Из полученных соотношений следует, что масса балки круглого поперечного сечения 
в 1,78 раза больше массы кольцевого сечения и в 1,3 раза больше массы балки прямоугольного сечения, то есть процент экономии материала по сравнению с круглым поперечным сечением при использовании указанных профилей составляет соответственно
В свою очередь, результаты позволяют также заключить, что наиболее рациональными формами поперечных сечений при поперечном изгибе являются такие, у которых материал удален от нейтральной оси, например, труба, двутавр (см. Приложение 2), швеллер (см. Приложение 3, 4) и др., то есть сечения, у которых момент сопротивления будет наибольшим при прочих равных условиях.
Из формулы (4) следует, что нормальные напряжения распределяются по высоте поперечного сечения по линейному закону, обращаясь в нуль на нейтральной оси и достигая наибольших значений в самых удаленных точка от нее (рис. 13).
Рис. 13. Распределение нормальных напряжений по сечениям
Для закрепления навыков по данной теме предлагаются задачи для самостоятельной работы (Приложение 1).
Литература
1. Александров А.В. Сопротивление материалов. /А.В.Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин −М.: Высшая школа,1995. −560 с.
2. Дарков А.В. Сопротивление материалов: Учебник для техн. вузов /А.В. Дарков, Д.С. Шпиро −5-е изд., перераб. и доп. − М.: Высшая шк., 1989. −624 с.
Приложение 1
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 571; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!