II . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Вопросами применимости закона Дарси посвящены также работы Е.М.Минского, Ф.И.Котяхова, Г.Ф.Требина, А.И.Абдулвагабова, М.Маскета и др. исследователей .

Заметим, что нарушение закона Дарси еще не означает нарушение ламинарности течения. Опыты Линдквиста и других исследователей показывают , что нарушение ламинарности происходит при числах R_езначительно больших, чем R_е _кр . Причиной нарушения закона Дарси является проявление роли сил инерции, а причиной нарушения ламинарности является проявление турбулентного потока при достаточно больших скоростях движения. Поэтому нельзя считать областью турбулентности режима всю область значений параметра

R_е> R_е.кр. Всякий фильтрационный поток, в котором справедлив закон Дарси, есть поток ламинарный, но не всякий ламинарный поток подчиняется этому закону. При больших скоростях фильтрации закон Дарси нарушается вследствие влияния сил инерции, возникающих в жидкости в результате непрерывных , часто весьма резких, изменений направления и величины скорости ее движения; эти изменения обусловлены извилистостью поровых каналов в пространстве и непрерывным изменением их поперечного сечения. Пока скорости движения жидкости малы, эти инерционные силы ничтожны. Однако, начиная с некоторых значений скоростей, соответствующих критическим значениям чисел Рейнольдса, силы инерции достигают таких величин, при которых их действие оказывает существенное влияние на фильтрацию и приводит к нарушению линейного закона фильтрации Дарси.

Таким образом, ламинарность фильтрационного потока может сохраняться и после того, когда вследствие влияния сил инерции закон Дарси нарушается.

При нарушении закона Дарси зависимость между скоростью фильтрации V и градиентом давления dP/dS лучше всего описывается двухчисленной формулой (нелинейным законом)

= аV+bV², (1.22)

которая отражает плавный переход от линейного закона фильтрации к нелинейному; численные значения постоянных коэффициентов а и b находятся обычно экспериментально. В частности для прямолинейно - параллельного фильтрационного потока выражение (1.22) записывается в виде

, (1.23)

где b - дополнительная константа пористой среды, определяемая

экспериментально.

Первое слагаемое в правой части уравнений (1.22) и (1.23) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе - инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью поровых каналов. При достаточно малых скоростях фильтрации (аV >> bV²) возможно пренебрежение слагаемым, содержащим V², и мы получаем закон Дарси; при значениях V ³ V_кр слагаемые аV и bV² имеют один и тот же порядок; при достаточно больших скоростях фильтрации (аV << bV²) пренебрегаем первым слагаемым , в результате получаем так называемый закон А.А Краснопольского (квадратичный закон)

= bV², (1.24)

который имеет место при фильтрации жидкости в крупнозернистых и трещиноватых коллекторах. Физически это означает, что инерционная составляющая фильтрационного сопротивления является преобладающей над составляющей вязкостного сопротивления.

Работами Е.М.Минского и других исследователей показано, что двухчленный закон фильтрации (1.22), (1.23) является физически наиболее обоснованным и осуществляется при всех числах Рейнельдса, встречающихся в практике разработки нефтегазовых месторождений.

Следует отметить также, что при исследованиях фильтрационных потоков в условиях нарушения закона Дарси используется нелинейный закон в виде одночленной степенной формулы

, (1.25)

где С и n - некоторые постоянные, определяемые опытным путем; причем 1<n£2.

При n = 2 формула (1.25) переходит в формулу Краснопольского (1.24).

2. Нижняя граница применимости закона Дарси

Начиная с 50-х годов XX века появилось большое число экспериментальных и теоретических работ, отмечающих нарушение закона Дарси при малых скоростях фильтрации. Объяснение этого явления состоит в том, что при малых скоростях фильтрации жидкость не вполне отвечает гидродинамической модели вязкой однокомпонентной жидкости, а пористый скелет отличается от идеального твердого тела и его взаимодействие с жидкостью может не ограничиваться притяжением молекулярного слоя жидкости (условия прилипания). Часто в жидкости содержатся поверхностно- активные компоненты и компоненты, склонные к структурированию (в природных нефтях, особенно высоковязких); сам скелет пористой среды может содержать активные частицы (например, глинистые), которые легко взаимодействуют с полярными жидкостями (например, с водой) с образованием устойчивых в механическом отношении твердообразных структур. В частности при межфазовом взаимодействии нефти, содержащей поверхностно- активные компоненты, с развитой поверхностью пористой среды образуются устойчивые коллоидные растворы (студнеобразные пленки), частично или полностью перекрывающие поры; чтобы началось движение, нужно разрушить эту структуру, приложив некоторый перепад давления, т.е. начальный градиент давления j.

Таким образом, при малых скоростях фильтрации природа нелинейного закона иная, чем в области больших скоростей (больших чисел Рейнольдса). Она связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов и других физико-химических эффектов.

При малых скоростях фильтрации сила вязкого трения жидкости пренебрежимо мала, тогда как сила межфазового взаимодействия (жидкости и скелета пористой среды) при этом остается конечной величиной, поскольку она не зависит от скорости и определяется лишь свойствами контактирующих фаз. Поэтому при малых скоростях фильтрации движение жидкости начинается лишь при градиенте давления, превышающим начальный (предельный) градиент давления j. Для простейшего случая одномерного прямолинейного потока нелинейный закон фильтрации неньютоновских жидкостей представляется в виде

, V> 0 . (1.26)

Если , то V=0.

II . ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ

Общие положения.

Процессы, происходящие в нефтяных и газовых пластах при разработке нефтяных и газовых месторождений , существенно зависят от времени, т.е. являются нестационарными. Характеристики движения жидкости или газа - давление , скорость фильтрации и т.п .изменяются от точки к точке продуктивного пласта и образуют нестационарное поле давлений, скоростей фильтрации и т.п . Задачи нестационарной фильтрации жидкости или газа в пласте решаются методом математической физики; для этого составляются и интегрируются соответствующие дифференциальные уравнения.

К числу дифференциальных уравнений относятся:

1. дифференциальные уравнения движения жидкости или газа;

2. уравнение баланса массы в элементе пористой среды - уравнение неразрывности (сплошности) фильтрационного потока.

Дополнительно к дифференциальным уравнениям вводятся уравнения состояния флюида и пористой среды, определяемые параметрами . В итоге получаем замкнутую систему уравнений, т.е число уравнений в системе равно числу неизвестных функций, характеризующих рассматриваемый фильтрационный процесс и подлежащих определению. Для получения решения системы уравнений должны быть заданы начальные (при t=0) и краевые (граничные) условия - на границах пласта. При этом заметим, что фильтрация представляет собой очень медленный процесс и изменение температуры флюида в ходе движения (вследствие наличия сопротивления и расширения вещества) успевает компенсироваться теплообменом с окружающими горными породами. Поэтому считаем, что температура флюида равна температуре пористой среды и неизменна, т.е. Т_ф=Т_с=Т=const; это означает, что фильтрация считается изотермическим процессом.

В результате интегрирования полученных итоговых дифференциальных уравнений фильтрации получаем закон распределения давления, а, следовательно, и скорости фильтрации по всему пласту в любой момент времени, т.е. Р=Р(x,y,z,t); u_x=u_x(x,y,z,t); u_у=u_у(x,y,z,t), u_z=u_z(x,y,z).

Если принять жидкость несжимаемой (r=const) в недеформируемой пористой среде (m=const,k=const) – самый упрощенный случай, то число искомых функций ограничится этими четырьмя параметрами (Р,V_x_,V_y,V_z). Если предполагается фильтрация сжимаемого флюида в сжимаемой пористой среде, предстоит еще дополнительно определить значения параметров r,m,k,m как функции координат и времени. В этом случае имеем восемь уравнений - дифференциальных и конечных- для определения восьми характеристик фильтрационного потока, жидкости (газа) и пористой среды. Аналитическое решение системы диф. уравнений в этом (общем) случае невозможно; необходимо численное решение с применением ЭВМ.

Дифференциальные уравнения

движения флюида.

Дифференциальные уравнения движения флюида получаются непосредственно из закона Дарси для трубки тока переменного сечения (рис.4)

, (2.1)

где Р - приведенное давление, Р=Р(S,t) .

Или в векторной форме:

. (2.2)

При этом предполагается изотропность пористой среды, т.е. предполагается постоянство проницаемости k по всем направлениям в окрестности рассматриваемой точки.

Представим вектор скорости фильтрации через составляющие по координатным осям:

= V_x*`i + V_y*`j +V_z*`k (а)

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 144; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!