Приклади знаходження меж послідовності

Числова послідовність задана загальним членом x_п,розглянемо його:

при знаходженні такої межі говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

при знаходженні такої межі, говорять, що будемо розкривати невизначеність виду .

Для розкриття невизначеності ділимо чисельник і знаменник на найбільший ступінь n.

Таким чином, має місце правило:

Межа відносини двох багаточленів дорівнює нескінченності, якщо ступінь чисельника більше ступеня знаменника, нулю, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника й відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо ступеня чисельника й знаменника рівні.

Для спрощення задачі знаходження межі послідовності, вищевказаного виду, ми вдаємося до допомоги теореми Штольца.

Теорема Штольца

Для визначення меж невизначених виражень типу часто буває корисна наступна теорема, що належить Штольцу (O. Stolz).

Теорема: Нехай варіанта , причому – хоча б починаючи з деякого місця – зі зростанням п і у_п зростає: тобто у_п+1 > y_n. Тоді

Якщо тільки існує межа праворуч (кінцевий або навіть нескінченний).

Доказ: Допустимо спочатку, що ця межа дорівнює кінцевому числу L:

Тоді по будь-якому заданому найдеться такий номер N, що для n > N буде

або

Виходить, яке б n > N не взяти, всього дробу

лежать між цими границями. Тому що знаменники їх, через зростання у_п разом з номером п, позитивні, то між тими ж границями втримується й дріб

чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник - сума всіх знаменників. Отже, при n > N

запишемо тотожність

звідки

Другий доданок праворуч, як ми бачили вище, при n > N стає < .

Перший же доданок, через те, що, також буде < , скажемо, для n > N^’. Якщо при цьому взяти N^’> N, то для n > N^’ очевидно

що й доводить наше твердження.

Випадок нескінченної межі приводиться до вище розглянутого. Нехай, наприклад,

Звідси, насамперед, випливає, що (для досить більших n)

отже, разом з у_n і , причому варіанта х_пзростає зі зростанням номера п. У такому випадку, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення :