А) Задачи, приводящие к понятию производной



Из курса физики известно, что свободное падение тел в поле тяжести Земли является неравномерным движением и совершается по закону х = , где g – ускорение свободного падения. Его средняя скорость за первую секунду движения, т.е. за промежуток времени от момента t0 = 0 до момента времени t1 = 1, равна:

 

Vср(1, 0) = ,

 

в то время как для второй секунды движения (t1 = 2, t0 = 1) она уже равна в три раза большему значению:

 

Vср(2, 1) =  =

 

Средняя скорость не может полностью характеризовать неравномерное движение. Для полной характеристики вводят так называемую мгновенную скорость. Очевидно, что средняя скорость Vср (t1, t0) тем полнее характеризует движение за промежуток времени от t0 до t1, чем меньше длительность этого промежутка. Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t1 при t1, стремящимся к t0, называется мгновенной скоростью V(t0) в момент времени t0, т.е.:


 

Б) Производная функции

Определение.

Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х0 – некоторая точка интервала (a; b).

Предел  называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается f ′ (x0). Таким образом, по определению:

 

f ′ (x0) =

 

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале.

Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

В) Физический и геометрический смысл производной

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то ее график имеет касательную в точке М00; f(x0)), угловой коэффициент которой равен . Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной: производной функции у = f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М00; f(x0)).

г) Вычисление производной на основе ее определения.

Исходя из определения производной, сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 нужно:

1) Найти f(x) - f(x0);

2) составить разностное отношение ;

3) вычислить предел разностного отношения при :

 

.

 

д) Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x0 дифференцируема, т.е. существует предел:

 

 

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

 

,

 

где . Домножим равенство на (х – х0), находим, что дифференцируемая в точке x0 функция представима в окрестности этой точки в виде:

 

,

 

где . Переходя к пределу при  в равенстве получаем:


.

 

Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом, непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

3. Ответы на вопросы учащихся время 10 мин.

4. Закрепление нового материала время 20 мин.

Самостоятельная работа по 4 вариантам

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО 4 ВАРИАНТАМ

1. Найти мгновенную скорость в момент времени t0 свободного падения тела в поле тяжести Земли (I, II, III, IV).

2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = V0t + . Найдите мгновенную скорость этой точки:

I в.: при t = 0

II в.: в момент t0

III в.: при t = 7

IVв.: в момент времени t = 7c

3. Найдите производную функции:

 

I в.: f(x) = x2

II в.: f(x) = 2x3 + 4x + 4

III в.: f(x) =

IVв.: f(x) = 3x2 + 4

 

4. Найдите производную функций в точках x = 1, x = 3.

 

I в.: f(x) =

II в.: f(x) = (x + 5)2

III в.: f(x) = 4 – x3

IVв.: f(x) = 5x4 + 2x3 – 3x + 6

 

5. Найдите производную функций в данных точках.

 

I в.: f(x) = cos x, при х=

II в.: f(x) = tg x, при х =

III в.: f(x) =cos 2x, при х =

IVв.: f(x) = x2 + 4x + 72, при х = -5

 

Подхожу к заключительной части урока, в которой подвожу итоги урока. Выделяю основные моменты темы, подчеркиваю необходимость изучения данной темы.

Выдаю домашнее задание.

Подвожу итоги урока.

Выставляю оценки активным учащимся, для поощрения их потребности самообразования.

III . Заключительная часть: время 3 мин.

1. Подведение итогов

Еще раз выделяю наиболее важную информацию по производной.

Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х0 – некоторая точка интервала (a; b).

Предел  называется производной функции f(x) в точке x0 и обозначается f ′ (x0). Таким образом, по определению:

 

f ′ (x0) =

 

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x0 нужно:

1) Найти f(x) - f(x0);

2) составить разностное отношение ;

3) вычислить предел разностного отношения при :

 

.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x0 дифференцируема, т.е. существует предел:

 

 

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:


,

 

где . Домножим равенство на (х – х0), находим, что дифференцируемая в точке x0 функция представима в окрестности этой точки в виде:

 

,

 

где . Переходя к пределу при  в равенстве получаем:

 

.

 

Последнее формула означает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом, непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

2. Задание на дом: повторение темы, № 229, 235, 238

3. Заключительное слово преподавателя: Прощаюсь с учениками.

     


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 136; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!