Дифференциальные уравнения, описывающие процессы в цепях с сосредоточенными параметрами.



При работе электрических цепей используются два закона Кирхгофа. Рассмотрим их в применении к цепи с сосредоточенными параметрами.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи. Он вытекает из принципа непрерывности электрического тока. Охватим узел цепи замкнутой поверхностью S (рис.)

В соответствии с принятыми допущениями вся электрическая ёмкость в цепи с сосредоточенными параметрами предполагается сосредоточенной в конденсаторах, включённых в цепь. Это соответствует пренебрежению токами электрического смещения, отходящими от соединительных проводов к другим участкам цепи. Таким образом, через замкнутую поверхность S проходят только токи проводимости в проводниках, пересекающих эту поверхность. Согласно принципу непрерывности тока в данном случае получим:

 


- сумма токов всех родов проводимости, смещения сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю.

 

 -плотность тока

 

При любом числе ветвей имеем: , т.е. алгебраическая сумма токов, расходящихся от узла электрической цепи, равна нулю.

При составлении уравнений согласно І закону Кирхгофа необходимо задаться условными положительными направлениями токов во всех ветвях, обозначив их на схеме стрелками. От узла, как правило, принимаем за положительное направление для токов, а знак «минус» приписываем токам, которые входят в узел. Для случая на рис. перед всеми токами в уравнении следует поставить знак «плюс».

 : -i1 + i2 + i3 = 0

Если в результате расчёта будет получено для некоторого тока в некоторый момент времени положительное число ( ik > 0), то это значит, что ток имеет в данный момент времени действительное направление согласно стрелок. Если же будет получено ik < 0, то этот ток в действительности направлен против стрелки.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи. Он вытекает из соотношения:

 

ЭДС, действующая вдоль некоторого пути, равна линейному интегралу вдоль этого пути напряжённости стороннего электрического поля, а также электрического поля, индуктированного изменяющимся магнитным полем.

Электрическое напряжение или падение напряжения связано с результирующим электрическим полем.

Электрическое напряжение вдоль некоторого пути от (·) А до (·) В равно линейному интегралу напряжённости результирующего электрического поля (электростатического, стороннего, индуктированного) вдоль этого пути.

 

Величина равна сумме ЭДС.

 источников сторонних ЭДС, действующих в контуре.

Величина включает в себя все индуктированные в контуре ЭДС, т.е. как ЭДС операторов, действующих на принципе электромагнитной индукции, так и ЭДС взаимной индукции и самоиндукции, индуктируемых в катушках, включённых в контур. Обозначив сумму ЭДС источников энергии, действующих во всех параллельных ветвях контура в виде:

Будем иметь:

 

Итак, ІІ закон Кирхгофа гласит: сумма падений напряжений во всех ветвях любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме ЭДС электрической энергии, действующих в этом контуре.

Если в k-той ветви содержится в общем случае участок с активным сопротивлением Rk, катушка индуктивности Lk и конденсатор с ёмкостью Ck, то падение напряжения вдоль всей этой ветви будет складываться из падений напряжений URk, UCk, ULk на этих элементах, т.е.

При составлении уравнений по ІІ закону Кирхгофа должны быть заданы положительные направления токов ik иЭДС ek источников энергии во всех ветвях. Положительные направления падений напряжений uk считаем совпадающими с положительными направлениями токов ik


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 25;