Действие дифференциальных операторов на вектор, заданный в общем виде.



В дальнейшей росписи действий операторов на вектор, заданный в общем виде, его составляющие будут заключены в круглые скобки исключительно с целью указания на то, что заключенные в них операторы "grad" и "rot" не будут нами расписываться, а нужны только для обозначения градиентной и вихревой составляющей вектора.

а) Действие оператора "rot" на вектор в общем виде:

Т.е. после действия оператора "rot" на вектор F в общем виде результирующий вектор носит строго вихревой характер, и его величина не зависит от градиентной составляющей (grad j) вектора F.

б) Действие оператора " div " на вектор в общем виде:

результат действия оператора "div" на вектор в общем виде есть скаляр, величина которого не зависит от вихревых составляющих вектора F.

в) Действие оператора "rot rot" на вектор в общем виде:

Поскольку в результате действия оператора "rot rot" на вектор F под оператором ( ) остался только вектор .rot A., имеющий строго вихревой характер, бессмысленно вводить в вектор "А" какую либо градиентную составляющую, т.к. после действия оператора "rot" она тождественно обнуляется и никак не определяется данным уравнением.

Из того, что:

следует:

Т.е. роспись оператора зависит от вида вектора, на который действует оператор, и в общем виде определяется следующим выражением:

Действие оператора набла ( ) также зависит от вида функции, на которую он действует, так:

В данном перечне приведены только действия операторов, не приводящие к тождественному нулю.

Проведенный анализ классической теории поля позволил:

1) конкретизировать постановку классической полевой задачи, отбросив задачи приводящие к математическим парадоксам и не имеющие физического смысла;

2) показать фундаментальность разделения полей на градиентные и вихревые;

3) дать точные выражения действий дифференциальных операторов теории поля на вектор, заданный в общем виде, из которых стало видно, что после действия дифференциального оператора классической теории поля на вектор поля, заданный в общем виде, нетривиальный результат получается только от действия оператора на соответствующую ему составляющую вектора в общем виде.

Т.е.

т.к.

т.к.

Из чего следует, что если уравнение задано в виде соотношения для действия на искомый вектор оператора "rot" , то из этого уравнения можно получить в качестве решения только вихревой вектор как интеграл по замкнутому контуру.

Если задано уравнение в виде действия на вектор операторов "div" или "grad div" , то из этого уравнения можно получить в качестве решения только скаляр или вектор градиентного поля.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 31;