Методы решения алгебраических уравнений
Большинство задач физики, экономики, социологии, биологии и других областей знания приводят к решению алгебраических уравнений или систем уравнений.
Несмотря на наличие множества приближённых методов, в настоящее время, пожалуй, нет общего подхода для решения любого нелинейного уравнения и тем более нелинейной системы уравнений. Поэтому, в каждом частном случае приходится исследовать уравнения и строить соответствующие алгоритмы, комбинируя идеи разных численных методов. Так, что решение нелинейного уравнения, в настоящее время, скорее искусство, чем наука. Хотя, известные программные продукты современных фирм позволяют, во многих случаях, упростить поиск корней.
Перейдём на изложение основных известных и наиболее популярных методов. Прежде отметим, что при отыскании приближённых значений корней приходится решать две задачи:
а) отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей в каждой из которых находится корень;
б) вычисление корней с заданной точностью.
Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии)
Перед началом решения уравнения
(36)
мы должны выделить интервал поиска решения 
, т.е. ответить на вопрос а) предыдущего параграфа. Для этого используется теорема Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса: Если на концах некоторого отрезка непрерывная функция 
принимает значения разных знаков, то на этом отрезке уравнение (36) имеет хотя бы один корень.
|
|
|
Эта теорема выражает геометрически очевидный факт (рис.4), состоящий в том, что если в точках 
и 
график непрерывной функции находится в
разных полуплоскостях от оси 
, то найдётся точка 
, такая что график этой функции пересекается с осью в точке 
, т.е. 
.
а 
b Замечание: если при этом имеет первую
производную 
- не меняющую знака, то корень единственный.
Таким образом, мы можем сказать, что уже умеем
Рис. находить отрезок , где находится корень
уравнения (36), но этот отрезок можно уменьшать, основываясь на теореме Вейерштрасса.
Для этого в качестве первого приближения к корню берём середину отрезка 
, т.е.
(38)
Этой точкой отрезок делится на два равных отрезка: 
и 
. Используя теорему Вейерштрасса, устанавливаем в каком из этих отрезков лежит корень, т.е. на концах какого из этих двух отрезков функция принимает разные знаки. С этим отрезком действуем также, т.е. выбираем в качестве второго приближения к корню середину этого отрезка 
и продолжаем этот итерационный процесс, пока отрезок поиска решения 
не станет меньше требуемой точности 
.
Оценка погрешности вычислений по методу деления отрезка пополам производится по очевидной формуле:
|
|
|
(39)
Ясно, что 
, а относительная погрешность 
.
Изложенный метод легко программируется и даёт сходимость с точностью (39), хотя при практических вычислениях чаще пользуются комбинациями различных численных методов, добиваясь более быстрой сходимости процесса.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 119; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!