Проверка выполнения предпосылок МНК

Предпосылка 2. О гомоскедастичности остатков.

На Этапе 3 по полю корреляции и характеру стат. данных было сделано предположение о наличии гетероскедастичности. Проверим его с помощью теста Голдфельда-Квандта.

 

1. Упорядочиваем выборку по возрастанию фактора Х.

№	У (продажа животного масла)	Х (продажа растительного масла)
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ	43,7	82,7
Республика Тыва	41	88
Республика Калмыкия	45,5	105,6
Республика Ингушетия	46,3	113
Республика Адыгея	50,8	138,4
Республика Дагестан	50,8	147,5
Республика Марий Эл	64,4	149,4
Чувашская Республика	55,9	149,7
Республика Мордовия	59,5	151,1
Республика Алтай	63,7	154,7
Агинский Бурятский авт. округ	73,2	162,8
Кабардино-Балкарская Республика	65,1	167
Карачаево-Черкесская Республика	66,9	167,2
Забайкальский край	79,9	167,3
Кировская область	53	168,3
Республика Хакасия	66,9	171,8
Удмуртская Республика	68,1	172,7
Еврейская автономная область	65,5	174
Пензенская область	82,8	183,8
Амурская область	56,4	185,2
Саратовская область	90,5	190,3
Республика Бурятия	80,2	190,4
Курганская область	68,6	194
Ульяновская область	80,3	196,7
Ставропольский край	63,9	197
Республика Северная Осетия - Алания	76,1	198,7
Алтайский край	66,4	202,9
№	У (продажа животного масла)	Х (продажа растительного масла)
Приморский край	73,9	208,3
Оренбургская область	74,4	209,6
Иркутская область	89,5	210,3
Астраханская область	108,4	217,8
Нижегородская область	80,2	227,2
Новосибирская область	90,5	229,9
Челябинская область	87	230,8
Самарская область	85,2	237,1
Ростовская область	86,5	242,1
Волгоградская область	91,5	243,1
Краснодарский край	83,1	252,1
Республика Саха (Якутия)	116,6	254,6
Кемеровская область	93,3	258,4
Республика Башкортостан	105,6	261,3
Республика Татарстан	118,5	266,8
Омская область	102,7	272,3
Томская область	107	273,5
Красноярский край	103,2	276,9
Свердловская область	104,2	285,1
Чукотский авт. округ	108,2	285,8
Магаданская область	99	290,6
Камчатский край	90,8	293,2
Хабаровский край	83,5	294
Пермский край	118,9	294,5
Сахалинская область	113,4	372,2
Тюменская область	173,3	455
Ямало-Ненецкий авт. округ	195,9	546,1
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	221,4	547,8

 

2. Полученную упорядоченную выборку делим на 3 примерно одинаковые части . Тогда 8 первых наблюдений, соответствующих малым значениям Х (потребление растительного масла), и 8 последних, соответствующих большим значениям Х (потребление растительного масла), оставляем. А 17 центральных данных удаляем из рассмотрения.

 

3. Сформировались две подвыборки:

№	У (потребление животное масло)	Х (потребление растительное масло)
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ	43,7	82,7
Республика Тыва	41	88
№	У (потребление животное масло)	Х(потребление растительное масло)
Республика Калмыкия	45,5	105,6
Республика Ингушетия	46,3	113
Республика Адыгея	50,8	138,4
Республика Дагестан	50,8	147,5
Республика Марий Эл	64,4	149,4
Чувашская Республика	55,9	149,7
Республика Мордовия	59,5	151,1
Республика Алтай	63,7	154,7
Агинский Бурятский авт. округ	73,2	162,8
Кабардино-Балкарская Республика	65,1	167
Карачаево-Черкесская Республика	66,9	167,2
Забайкальский край	79,9	167,3
Кировская область	53	168,3
Республика Хакасия	66,9	171,8
Удмуртская Республика	68,1	172,7
Еврейская автономная область	65,5	174
№	У (потребление животное масло)	Х(потребление растительное масло)
Краснодарский край	83,1	252,1
Республика Саха (Якутия)	116,6	254,6
Кемеровская область	93,3	258,4
Республика Башкортостан	105,6	261,3
Республика Татарстан	118,5	266,8
Омская область	102,7	272,3
Томская область	107	273,5
Красноярский край	103,2	276,9
Свердловская область	104,2	285,1
Чукотский авт. округ	108,2	285,8
Магаданская область	99	290,6
Камчатский край	90,8	293,2
Хабаровский край	83,5	294
Пермский край	118,9	294,5
Сахалинская область	113,4	372,2
Тюменская область	173,3	455
Ямало-Ненецкий авт. округ	195,9	546,1
№	У (потребление животное масло)	Х (потребление растительное масло)
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	221,4	547,8

 

4. По известной процедуре МНК строим уравнения линейной парной регрессии для каждой из этих частей.

Получаем для первой части: , для последней части: .

Уже видим, что коэффициенты и а₀, и а₁ в этих уравнениях заметно отличаются. Это говорит о неоднородности вариации стат. данных, а, значит, о гетероскедастичности.

5. Находим остатки для каждого из этих уравнений, возводим их в квадрат и суммируем:

 

Первая часть выборки
№		Потребление животного масла	Потребление растительное масло				ei		ei2
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ		43,7	82,7		39,061		-4,639		21,521
Республика Тыва		41	88		40,717		-0,283		0,080
Республика Калмыкия		45,5	105,6		46,218		0,718		0,516
Республика Ингушетия		46,3	113		48,531		2,231		4,976
Республика Адыгея		50,8	138,4		56,469		5,669		32,139
Республика Дагестан		50,8	147,5		59,313		8,513		72,475
Республика Марий Эл		64,4	149,4		59,907		-4,493		20,187
Чувашская Республика		55,9	149,7		60,001		4,101		16,817
Республика Мордовия		59,5	151,1		60,438		0,938		0,881
Республика Алтай		63,7	154,7		61,563		-2,137		4,565
Агинский Бурятский авт. округ		73,2	162,8		64,095		-9,105		82,900
Кабардино-Балкарская Республика		65,1	167		65,408		0,308		0,095
Карачаево-Черкесская Республика		66,9	167,2		65,470		-1,430		2,044
Забайкальский край		79,9	167,3		65,501		-14,399		207,319
Кировская область		53	168,3		65,814		12,814		164,198
Республика Хакасия		66,9	171,8		66,908		0,008		0,000
Удмуртская Республика		68,1	172,7		67,189		-0,911		0,830
Еврейская автономная область		65,5	174		67,595		2,095		4,391
Сумма		1060,2	2631,2		1060,2		0,000		635,932
№	Употребление животного масла			потребление растительного масла				ei		ei2
Краснодарский край	83,1			252,1		92,935		9,835		96,725
Республика Саха (Якутия)	116,6			254,6		93,872		-22,728		516,556
Кемеровская область	93,3			258,4		95,297		1,997		3,987
Республика Башкортостан	105,6			261,3		96,384		-9,216		84,936
Республика Татарстан	118,5			266,8		98,446		-20,054		402,168
Омская область	102,7			272,3		100,508		-2,192		4,806
Томская область	107			273,5		100,958		-6,042		36,510
Красноярский край	103,2			276,9		102,232		-0,968		0,936
Свердловская область	104,2			285,1		105,306		1,106		1,224
Чукотский авт. округ	108,2			285,8		105,569		-2,631		6,923
Магаданская область	99			290,6		107,368		8,368		70,031
Камчатский край	90,8			293,2		108,343		17,543		307,763
Хабаровский край	83,5			294		108,643		25,143		632,174
Пермский край	118,9			294,5		108,831		-10,069		101,394
Сахалинская область	113,4			372,2		137,960		24,560		603,196
Тюменская область	173,3			455		169,002		-4,298		18,477
Ямало-Ненецкий авт. округ	195,9			546,1		203,155		7,255		52,631
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	221,4			547,8		203,792		-17,608		310,040
Сумма	2138,6			5780,2		2138,600		0,000		3250,477

 

6. Находим отношение большей суммы квадратов остатков к меньшей, оно подчиняется F-распределению Фишера. В данном случае , поэтому .

7. Сравниваем его с табличным значением F-критерия Фишера на уровне значимости d с (k-1) и (k-1) степенями свободы, где k – объёмы оставшихся частей выборки.

На уровне значимости d=0,05 с 17 и 17 степенями свободы табличное значение .

8. Выдвигаем гипотезу Н₀ об отсутствии гетероскедастичности (выполнении предпосылки 2). Альтернативная ей Н₁ о наличии гетероскедастичности (нарушении предпосылки 2).

9. Т.к. наблюдаемое значение превышает табличное: , то мы вынуждены принять гипотезу о наличии гетероскедастичности, подтвердив свои предположения о нарушении предпосылки 2.

Возможно, этим объясняется большая ошибка аппроксимации.

Т.к. F_e не намного превышает F _табл, то можно сказать, что последствия гетероскедастичности выражены несильно, и несильно сказываются на качестве модели. В данном случае эффективнее будет пренебречь этим несильным нарушением предпосылки 2, чем корректировать модель.

Предпосылка 3 О некоррелированности остатков

Т.к. выборка – пространственная, то для таких выборок нарушения этой предпосылки обычно несвойственно, т.к. не участвует фактор времени. Но чтобы убедиться в этом проверим Автокорреляцию остатков хотя бы 1-го уровня.

 

Полученные остатки сместим на 1 наблюдение – получим остатки 1-го уровня.

№	ei	ei-1	ei* ei-1
Республика Адыгея	4,5388
Республика Дагестан	7,742	4,5388	35,139
Республика Ингушетия	0,098	7,742	0,759
Кабардино-Балкарская Республика	0,306	0,098	0,030
Республика Калмыкия	-1,7068	0,306	-0,522
Карачаево-Черкесская Республика	-1,4236	-1,7068	2,430
Республика Северная Осетия - Алания	0,4644	-1,4236	-0,661
Краснодарский край	12,2612	0,4644	5,694
Ставропольский край	12,066	12,2612	147,944
Астраханская область	-25,1124	12,066	-303,006
Волгоградская область	0,6932	-25,1124	-17,408
Ростовская область	5,3412	0,6932	3,703
Республика Башкортостан	-7,0004	5,3412	-37,391
Республика Марий Эл	-5,1892	-7,0004	36,326
Республика Мордовия	0,3092	-5,1892	-1,605
Республика Татарстан	-17,9644	0,3092	-5,555
Удмуртская Республика	-0,6876	-17,9644	12,352
Чувашская Республика	3,4164	-0,6876	-2,349
Пермский край	-8,614	3,4164	-29,429
Кировская область	12,8636	-8,614	-110,807
Нижегородская область	6,3964	12,8636	82,281
Оренбургская область	6,0012	6,3964	38,386
Пензенская область	-11,4804	6,0012	-68,896
Самарская область	4,8812	-11,4804	-56,038
Саратовская область	-16,8924	4,8812	-82,455
Ульяновская область	-4,4396	-16,8924	74,995
Курганская область	6,31	-4,4396	-28,014
Свердловская область	2,7772	6,31	17,524
Тюменская область	-6,518	2,7772	-18,102
Ханты-Мансийский авт. округ-Югра	-21,9524	-6,518	143,086
Ямало-Ненецкий авт. округ	2,9492	-21,9524	-64,742
№	ei	ei-1	ei* ei-1
Челябинская область	0,8636	2,9492	2,547
Республика Алтай	-2,6236	0,8636	-2,266
Республика Бурятия	-6,5572	-2,6236	17,203
Республика Тыва	-3,402	-6,5572	22,308
Республика Хакасия	0,1956	-3,402	-0,665
Алтайский край	11,6428	0,1956	2,277
Забайкальский край	-14,3884	11,6428	-167,521
Агинский Бурятский авт. округ	-9,2724	-14,3884	133,415
Красноярский край	0,8908	-9,2724	-8,260
Иркутская область	-8,8524	0,8908	-7,886
Усть-Ордынский Бурятский авт. округ	-7,9676	-8,8524	70,532
Кемеровская область	4,2788	-7,9676	-34,092
Новосибирская область	-2,9532	4,2788	-12,636
Омская область	-0,2284	-2,9532	0,675
Томская область	-4,106	-0,2284	0,938
Республика Саха (Якутия)	-20,3588	-4,106	83,593
Камчатский край	19,0284	-20,3588	-387,395
Приморский край	6,0436	19,0284	115,000
Хабаровский край	26,61	6,0436	160,820
Амурская область	15,4124	26,61	410,124
Магаданская область	9,9132	15,4124	152,786
Сахалинская область	24,2364	9,9132	240,260
Еврейская автономная область	2,37	24,2364	57,440
Чукотский авт. округ	-0,9764	2,37	-2,314
		-0,9764
Сумма от 2-го по 55-й	-4,3056	1,2099	620,554
Ср. знач.	-0,080	0,022	11,4917331
Станд. откл.	10,36	10,486

 

Чтобы оценить отсутствие или наличие Автокорреляции 1-го уровня, выясним, есть ли зависимость между остатками модели и остатками 1-го уровня. Из-за смещения останется на 1 значение меньше – 22: со 2-го по 23-е наблюдение. Вычислим коэффициент корреляции между e_i и e_{i -1} по его известной формуле:

(где ).

Итак, коэффициент корреляции показывает, что зависимость слабая. Т.е. автокорреляция остатков 1-го уровня слабая. И т.к. выборка пространственная, то этим небольшим нарушением предпосылки 3 можно пренебречь.

 

Предпосылка 4 О некоррелированности значений фактора и остатков

Построим поле корреляции между фактором Х и остатками е.

По этому расположению точек  делаем вывод о том, ни закономерности, ни систематического смещения их не наблюдается.

Рассчитываем коэффициент корреляции между фактором Х и остатками е (по обычной формуле): .

Значит, фактор Х и остатки е – некоррелированы. Предпосылка 4 не нарушена.

Предпосылки 1 и 5. О нормальном распределении остатков с нулевым матем. ожиданием

По значениям остатков модели построим интервальный вариационный ряд частот. Значения остатков изменяются от min(е)= --25,1124 до max(е)=24,2364. Тогда нижней границей будет -25, а верхней 24, длина всего этого интервала 25+24=49. Его удобно разбить на 7 интервалов. Пусть будет 7 интервалов, их длины 49/7=7. Считаем сколько значений е _i попадает в каждый из них. И выписываем интервальный вариационный ряд в виде таблицы:

 

Границы	[-25; -18)	[-18; -11)	[-11; -4)	[-4; 3)	[3; 10)	[10; 17)	[17; 24)
Частоты	3	3	11	19	11	5	3

 

Строим по нему гистограмму частот.

 

На этом же графике построим график кривой плотности нормального распределения (в соответствующем масштабе) с матем. ожиданием = 0 и сравним форму гистограммы и нормальной кривой.

Для данной выборки можно увидеть, что гистограмма частот остатков более-менее близка по форме к нормальной кривой. Но говорить уверенно о том, что остатки точно распределены нормально, нельзя. Возможно, при большем объёме выборки форма гистограммы была бы более понятной и однозначной.

В данном же исследовании на основании этого графика примем предположение о нормальности остатков. И будем считать, что предпосылки 1 и 5 не нарушены.

 

Выводы:

Высоко статистически значимые коэффициенты регрессии а₀ и а₁, коэффициент корреляции r _ух свидетельствуют о наличии сильной положительной взаимозаменяемости товаров. Это подтверждается и проверкой качества уравнения регрессии по F-критерию Фишера. Т.е., можно считать, что наличие взаимозаменяемости статистически доказано, направление и общая тенденция отражена уравнением регрессии верно и согласуется с состоянием рынка продовольственных товаров. Значения стандартных ошибок  и  для коэффициентов а₀ и а₁ малы, и доверительные интервалы для параметров модели a ₀ и a ₁ не широки, а также высокое значение коэффициента детерминации R ² указывают, что взаимозаменяемость потребления животного масла растительным маслом доказана. Влияние же других экономических (и случайных, в том числе) факторов – намного менее существенно.

Но средняя ошибка аппроксимации свидетельствует, что в среднем смоделированные данные отличаются от фактических на 9-12%. И в данном исследовании этот уровень можно признать условно приемлемым и только для изученного периода.

В данной модели обнаружена гетероскедастичность остатков. Она обусловлена рыночной ситуацией. Но она несильно нарушает предпосылку 2. Поэтому принято решение, не подвергать модель излишней корректировке, которая вряд ли улучшит её качество.

По результатам проверки остальных предпосылок МНК можно считать, что они выполнены, или, по крайней мере, их негативные последствия минимальны. Для более однозначного ответа требуется увеличение выборки.

Всё это означает, что применение полученного уравнения на другие периоды или другие регионы, и пр. для качественного и реального прогнозирования возможно только с определёнными поправками. И было бы целесообразным для повышения прогностической силы и практической ценности этой модели добавление в нее других факторов, изучение данных и за другие периоды.

Рекомендации по улучшению качества этой модели:

Увеличить выборку для повышения точности.

Добавить в модель и другие факторы (напр., цены на эти продукты, национальные предпочтения, удаленность от производства, сезонные особенности употребления этих продуктов и т. д.), чтобы улучшить аппроксимацию модели.

Внести корректировку для периода времени, чтобы модель была применима не только для изученного периода, ни и для других лет.

Из-за гетероскедастичности можно построить 5 модели: для каждого федерального округа.

 

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 410; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!