Приводимые и неприводимые представления

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Воспользуемся языком линейных операторов. Пусть дано некоторое представление Т группы G, действующее в векторном пространстве V. Каждому вектору vÎV оператор (g)º сопоставляет вектор (v)=v₁ этого же пространства. Пусть W – подпространство пространства V.

Определение 5. Подпространство W пространства V называется инвариантным подпространством действия , если, каковы бы ни были элементы gÎG и векторы wÎW, T(w)=w₁, где w₁ÎW.

Определение 6. Представление T группы G, действующее в векторном пространстве V над полем Р, называется приводимым представлением, если в этом пространстве существуют неприводимые инвариантные относительно этого действия подпространства. Представление Т называется неприводимым, если единственные его инвариантные подпространства – О и само пространство V.

Интерпретируем это определение на языке матриц. Пусть представление Т группы G приводимо. Значит, в пространстве V представления может быть найдено нетривиальное инвариантное подпространство W. Пусть e₁, e₂, …, e_k – базис пространства W. Дополним его до базиса е₁, е₂, …, е_k, e_k₊₁, …, e_n всего пространства V. Так как W инвариантно, то (е_i), где i=1, 2, …, k лежат в W. Поэтому

(е_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_kie_k, i=1, 2, …, k.

Но так как эти векторы лежат и в пространстве V, то можно также написать

(е_i)=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_kie_k+0e_k+1+…+0e_n, i=1, 2, …, k.

Что же касается отдельных базисных векторов e_k₊₁, e_k₊₂, …, e_n, то, поскольку они не принадлежат W, их образы выражаются через базис наиболее общим способом и получаем следующую картину:

(е₁)=a₁₁e₁+a₂₁e₂+…+a_k1e_k+0e_k+1+…+0e_n

(е₂)=a₁₂e₁+a₂₂e₂+…+a_k2e_k+0e_k+1+…+0e_n

(е_k)=a_1ke₁+a_2ke₂+…+a_kke_k+0e_k+1+…+0e_n

(е_k+1)=a_1,k+1e₁+a_2,k+1e₂+…+a_k,k+1e_k+ a_k+1,k+1e_k+1+…+a_n,k+1e_n

(е_n)=a_1ne₁+a_2ne₂+…+a_kne_k+ a_k+1,ne_k+1+…+a_nne_n.

Отсюда видно, что матрицы всех элементов группы G в предствлении Т будут одновременно иметь следующий вид:

(6)

Поэтому на языке матриц матричное представление называется приводимым, если все матрицы его могут быть записаны при определенном выборе базиса в виде (6). Если же ни при каком выборе базиса матрицы представления нельзя записать в указанном виде, представления называются неприводимыми.

Представления групп и модули

Рассмотрим конструкцию, позволяющую, зная представления групп, построить модуль М над кольцом K, связанный с этим представлением. Пусть теория представлений групп сформулирована на языке матриц и линейных операторов. Все матрицы данного порядка (линейные операторы в n-мерном пространстве) образуют относительно операций сложения и умножения матриц (линейных операторов) кольцо. Матрицы (линейные операторы) образуют алгебру в смысле следующего определения.

Определение 7. Алгеброй А над полем Р называется множество, в котором введены операции сложения и умножения элементов, а также операция умножения lаÎА, lÎР, аÎА элементов поля Р на элементы из А, причем: 1) относительно операций сложения и умножения А является кольцом; 2) относительно операций сложения и умножения на элементы поля Р алгебра является векторным пространством; 3) операции умножения элементов кольца и умножения на элементы из поля связаны аксиомой

l(ab)=(la)b=a(lb); lÎP; a, bÎA (7)

Матрицы, которые сопоставляются элементами группы в представлении Т, составляют лишь часть из множества всех матриц М_n, что следует хотя бы из того, что они невырождены. Однако, если Т(g₁), Т(g₂), …, T(g_s), s=|G| - все матрицы представления группы G, то с ними можем связать алгебру, состоящую из всевозможных линейных комбинаций этих матриц вида

K=a₁ Т(g₁)+a₂ Т(g₂)+..+a_sT(g_s); a_iÎR или С (8)

Пусть Р – поле комплексных или вещественных чисел. Рассмотрим формальные суммы вида

a=a₁g₁+a₂g₂+…+a_ng_n; a_iÎP; g_iÎG; i=1, 2, …, n; n=|G| (9)

Подчеркнем, что так как в группе G есть только одна операция – умножение, левую часть нельзя рассчитывать как результат сложения элементов правой части. Назовем две суммы и равными, если a_i=b_i. Введем операцию сложения формальных сумм по правилу:

a+b=(a₁+b₁)g₁+(a₂+b₂)g₂+…+(a_n+b_n)g_n= ; g_i=a_i+b_i.

Видим, что на множестве формальных сумм определена операция сложения, так как в результате операции снова получилась формальная сумма вида (9). Введем далее операцию умножения формальных сумм. Получим кольцо, которое называется групповым кольцом группы G над полем Р и обозначается в виде PG. Это кольцо можно превратить в алгебру. Для этого надо определить умножение lÎP на aÎPG. Умножение задается по формуле

. (10)

Относительно сложения и умножения по этой формуле PG представляет собой векторное пространство (аксиома (7)). Построенная алгебра называется групповой алгеброй группы G и обозначается, как и групповое кольцо, в виде PG.

Если сопоставить каждому элементу g_i в выражении (9) матрицу T(g_i) этого элемента в представлении Т, то получим матрицу (8), которую обозначим буквой K, так как она является элементом группового кольца матриц K. Как следует из определения модуля, главное при построении модуля – ввести умножение векторов на элементы группового кольца. Пусть V – пространство представления Т группы G. Произвольный вектор v этого пространства зададим координатами. Если А – матрица линейного оператора , действующего в векторном пространстве, то можно получить вектор v₁, в который переходит вектор v под действием оператора . Для этого надо просто умножить по правилу умножения матриц вектор v на матрицу А. Аналогично выполняется умножение вектора v на элемент a группового кольца (и алгебры) PG:

va=vk=v₁, aÎPG, v₁ÎV, kÎK. (11)

Теперь, используя правило умножения (11) легко проверить условия определения модуля. Полученный модуль М называется модулем представления Т.

Если известен модуль М над групповой алгеброй PG, то можно получить представление, связанное с этим модулем. Так как группе G принадлежит единица I, то каждый элемент pÎP можно записать в виде p=pI. Отсюда следует, что модуль М является векторным пространством над полем Р. Поэтому каждому элементу aÎPG можно сопоставить оператор (a), действующий в векторном пространстве М по правилу

(a)(m)=ma (12)

В частности, любому элементу gÎG можно сопоставить оператор (g), действующий по правилу (g)(m)=mg. Сопоставляя всем элементам группы G операторы (12), и получим представление Т, связанное с модулем М.

Учитывая отмеченное соответствие между модулями и представлениями, можно перевести на язык модулей основную терминологию теории представлений. Так, подмодулю М₁ модуля М соответствует представление Т₁, которое называется подпредставлением представления Т. Тривиальные подмодули модуля М – это сам модуль М и нулевой модмодуль О. Если все подмодули модуля М тривиальны, он называется неприводимым модулем, а соответствующее ему представление – неприводимым представлением. Если же модуль М имеет нетривиальный модмодуль, он называется приводимым модулем, ему соответствует приводимое представление.

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 606; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!