Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы

Определение 2. Линейные операторы эвклидова (унитарного) пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов этого пространства, называется ортогональными (унитарными) операторами.

Пусть e₁, e₂, …, e_n – ортонормированная база унитарного (эвклидова) пространства. Если  - унитарный (ортогональный) оператор, то согласно его определению

 

(e_i, e_j)= ( e_i, e_i)=1, i=1, 2, …, n;

(e_i, e_j)= ( e_i, e_j)=0, i¹y. (2)

 

Это означает, что система векторов e₁, e₂, …, e_n сама составляет ортонормированную базу в соответствующем пространстве.

Пусть А – матрица унитарного (ортогонального) оператора. Тогда можно записать . Из выражения (2) следует, что в матрице А скалярные произведения векторов-столбцов на себя равны единице, а скалярное произведение различных векторов-стобцов равно нулю. Такая матрица называется унитарной (ортогональной). Унитарность (ортогональность) матрицы А означает, что сумма произведений элементов, стоящих в любом столбце этой матрицы, на сопряженные (на те же самые) к ним элементы равны единице, а сумма произведений элементов любого столбца на сопряженные к ним (на соответственные к ним) элементы другого столбца равна нулю.

Определение 3. Матрица А^* называется эрмитово сопряженной (или просто сопряженной) по отношению к матрице А, если А^*= , т. е. для того, чтобы из матрицы А получить эрмитово сопряженную матрицу, ее надо транспонировать и заменить элементы транспонированной матрицы комплексно-сопряженными элементами.

Определение 4. Матрица А называется самосопряженной или эрмитовой матрицей, если A=A^*; в том же случае, если элементы матрицы вещественны, A^*=A^t=A и матрица А называется симметрической матрицей.

Определение 5. Матрица А называется унитарной (ортогональной) матрицей, если A^*=A^-1 (если A^t=A^-1). Операторы, соответствующие эрмитовым матрицам, будем называть эрмитовыми.

 

Представления групп

 

Определение представлений

Определение 1. Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Невырожденным называется такой оператор , который имеет обратный оператор , дающий по определению в произведении с  единичный оператор : = = .

Определение 2. Матричным представлением группы G называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных комплексных или действительных матриц размера n´n.

Определение 3. Подстановочным представлением группы G называется гомоморфизм этой группы в группу подстановок порядка n. Если гомоморфизм группы G в группу операторов, матриц или подстановок является изморфизмом, то он называется точным представлением.

Представление группы будем обозначать буквой Т. Пусть g₁ и g₂ – любые элементы группы G, а Т(g₁) и Т(g₂) – соответствующие этим элементам матрицы представления. Тогда согласно определению гомоморфизма группы

 

Т(g₁, g₂)= Т(g₁) Т(g₂). (4)

Определение 4. Два матричных представления Т₁ и Т₂ группы G в некоторую группу матриц называется эквивалентным, если существует невырожденная матрица F такая, что для всех матриц Т₁(g), Т₂(g) представления будет иметь место равенство

 

Т₂(g)=Ф^-1 Т₁(g)Ф, "gÎG (5)

 

Эквивалентные представления не различаются.

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 445; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!