Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах
Содержание
Введение 3
Основные понятия и определения 4
Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах 7
§1. Свойства НОД и НОК_ 7
§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп 11
Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
Библиографический список 19
Введение
В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.
Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.
Как известно, различные подалгебры множества R + (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.
Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S 
R +, обладающих одним из введенных специфических свойств:
(*) 
(a < b 
);
(**) (0<a < b 
).
Основные понятия и определения
Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:
|
|
|
1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,
2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,
3) 
и ÆÎt.
Тогда 
называется топологическим пространством, t – топологией на Х.
Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.
Определение 3. Пусть – топологическое пространство и 
. Введем на множестве Х1 топологию t1. Открытыми в пространстве 
назовем все множества вида 
, где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство называется подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х1.
Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.
Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R + эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, 
R +Ç (-1, 1).
Определение 5. Пространство Х1 называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х1.
|
|
|
Очевидно, Х1 плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1 является предельной точкой множества Х.
Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.
Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ.
Определение 8. Множество Х1 в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.
Примеры:
1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.
2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.
Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.
Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.
Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.
Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. 
.
|
|
|
Определение 11. Элемент b S называется делителем элемента а S, если 
для некоторого 
. При этом говорят, что 
делится на 
, или делит ( | ).
Определение 12. Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД 
.
Определение 13. Элемент S называется кратным элементу 
S, если a делится на b.
Определение 14. Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК .
Определение 15. Полугруппа Sназывается НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из Sимеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).
Определение 16. Элемент 
из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если 
.
Определение 17. Элемент из S называется простым, если 
. Очевидно, простые элементы неприводимы.
Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.
|
|
|
1) áS, ×ñ– полугруппа;
2) S – топологическое пространство;
3) полугрупповая операция × непрерывна в S:
.
Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах
Свойства НОД и НОК
Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими.
Элементы и из S называются взаимно простыми, если НОД( , )=1.
Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 147; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!