Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах



Содержание

 

Введение 3

Основные понятия и определения 4

Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах 7

§1. Свойства НОД и НОК_ 7

§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп 11

Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15

Библиографический список 19


Введение

 

В математических исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.

Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R.

Как известно, различные подалгебры множества R + (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.

Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S R +, обладающих одним из введенных специфических свойств:

(*)  (a < b );

(**)  (0<a < b ).


Основные понятия и определения

Определение 1. Пусть Х – множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми, удовлетворяющее условиям:

1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,

2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,

3)  и ÆÎt.

Тогда  называется топологическим пространством, t – топологией на Х.

Определение 2. Дополнения открытых множеств в Х называются замкнутыми множествами.

Определение 3. Пусть  – топологическое пространство и . Введем на множестве Х1 топологию t1. Открытыми в пространстве  назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х. Тогда пространство  называется подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной топологией t на множество Х1.

Определение 4. Семейство открытых множеств в топологическом пространстве  называется базой топологии t, если любое открытое множество в Х является объединением множеств из этого семейства.

Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R + эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R +Ç (-1, 1).

Определение 5. Пространство Х1 называется плотным подпространством пространства Х, если любое непустое открытое множество в Х содержит точки множества Х1.

Очевидно, Х1 плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1 является предельной точкой множества Х.

Определение 6. Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Определение 7. Топологическое пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х и Æ.

Определение 8. Множество Х1  в топологическом пространстве Х называется связным, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х.

Примеры:

1. Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.

2. На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.

Определение 9. Топологическое пространство называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.

Пример. Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.

Далее везде будем обозначать символом S мультипликативную полугруппу.

Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .

Определение 11. Элемент b S называется делителем элемента а S, если  для некоторого . При этом говорят, что  делится на , или  делит  ( | ).

Определение 12. Общий делитель элементов  и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов  и  и обозначается НОД .

Определение 13. Элемент S называется кратным элементу S, если a делится на b.

Определение 14. Общее кратное элементов  и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов  и  и обозначается НОК .

Определение 15. Полугруппа Sназывается НОД-полугруппой (НОК-полугруппой), если любые два элемента из Sимеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).

Определение 16. Элемент  из S называется неприводимым, если он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .

Определение 17. Элемент  из S называется простым, если . Очевидно, простые элементы неприводимы.

Определение 18. Полугруппа S называется топологической полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.

1) áS, ×ñ– полугруппа;

2) S – топологическое пространство;

3) полугрупповая операция × непрерывна в S:

.


Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах

Свойства НОД и НОК

 

Пусть S – коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми, или коническими.

Элементы  и  из S называются взаимно простыми, если НОД( , )=1.

Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 18;