Бумага офсетная.             Офсетная печать.                 Усл.печ.л.3,19

КИНЕМАТИКА

Задача К1

 

Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0–К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями , , где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.

 

 

Таблица К1

 

Номер

условия

рис. 0 – 2 рис. 3 – 6 рис. 7 – 9
  0  
1
2  
3  
4
5  
6
7  
8  
9

 

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 =1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость  указана непосредственно на рисунках, а зависимость  дана в табл. К1 (для рис. 0–2 в столбце 2, для рис. 3-6 в столбце 3, для рис. 7–9 в столбце 4). Как и в задачах С1–С5, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.

В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 =1 с. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы:

; .

 

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:

              ;

(х, у – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории, построить траекторию, указать положение точки  М  на траектории в заданный момент времени t1 =1 с; для данного момента времени найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории; построить векторы скорости и указанных ускорений на рисунке.

 

Решение 1. Для определения уравнения траектории надо из заданных уравнений движения точки исключить время t. Поскольку время t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу

,             (1)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим

,   .

С учетом выражений (1) получаем

.                                                               (2)

Отсюда окончательно получаем уравнение траектории точки М

.

Следовательно точка М движется по параболе.

Строим параболу (2) на рис. К1.

 

 

 


Находим координаты точки  М  в заданный момент времени t1 = =1 с.

 см;  см.

Указываем точку М (2,6; 1,76) на рис. К1.

2. Скорость точки найдем по её проекциям на оси координат:

; ;

                                 .

При t1 =1 с

 см/с,  см/с,  см/с                   (3)

Вектор скорости  на рис. К1 строим по его проекциям. Вектор направлен по касательной к траектории в точке М.

3. Аналогично найдем ускорение точки М:

;  ;

                       .

При  t1 =1 с

 см/с2,  см/с2,  см/с2.         (4)

Вектор ускорения  на рис. К1 строим по его проекциям. Вектор направлен в сторону вогнутости траектории в точке М.

4. Касательное ускорение точки найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим:

; тогда .   (5)

При  t1 =1 с  см/с2.

Строим вектор  на рис. К1, проектируя вектор ускорения  на касательную М t (на направление вектора скорости ).

5. Нормальное ускорение точки . При  t1 =1 с

 см/с2.

Строим вектор  на рис. К1, проектируя вектор ускорения  на направление нормали n (нормаль n  скорости  и направлена во внутрь вогнутости траектории в точке М).

6. Радиус кривизны траектории . Подставляем в это выражение ранее найденные значения, получим, что при  t1 =1 с

 см.

Ответ:  см/с,  см/с2,  см/с2,  см/с2,  см.

 

 

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0–К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 =2 см, R1 = 4 см, у колеса 2 – r2 =6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 – r3 =1 2 см, R3 = 16 см. На ободах колес расположены точки А, В, и С.

 

 

Номер

условия

Дано

Найти

скорости ускорения
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

 

 

 


 


В столбце “Дано” таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где  – закон вращения колеса 1,  – закон движения рейки 4,  – закон изменения угловой скорости колеса 2,  – закон изменения скорости груза 5 и т. д. (везде φ выражен в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для ,  и  – вниз.

Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице в столбцах "Найти" скорости (  – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (  – скорость груза 5 и т. д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления имеет у каждого колеса одну и ту же величину, а когда два колеса связаны ременной передачей, то все точки ремня и, следовательно, точки, лежащие на ободе каждого из этих колес, имеют в данный момент времени численно одинаковые скорости; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

 

 

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колесо 2 с радиусами  и  и колесо 3 радиуса , скрепленное с валом радиуса , находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону .

Дано: R2 = 6 см, r2 = 4 см, R3 = 8 см, r3 = 3 см, (s – в сантиметрах, t - в секундах), А – точка обода колеса 3, t1 = 3 с.

Определить:  в момент времени t = t1.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса ), через , а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса ), – через .

1. Определяем сначала угловые скорости всех колес, как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим её скорость

.                                                         (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то  или . Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно,  или . Из этих равенств находим

,      .                     (2)

Тогда для момента времени t1 = 3 с получим  рад/с.

3. Определяем . Так как , то при t1 = 3 с будет  см/с2.

4. Определяем . Учитывая второе из равенств (2), получим . Тогда при t1 = 3 с будет  рад/с2.

5. Определяем . Для точки А , где численно . Тогда для момента времени t1 = 3 с будем иметь:

 см/с2,       см/с2,

 см/с2.

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Ответ:  рад/с,  см/с2;  рад/с2,  см/с2.

 

 

Задача К3

 

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0-К3.7) или же из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка O находится в середине стерж­ня АВ. Длины стержней равны соответственно: l1= 0,4 м, l2 =1,2 м, l3 =1,4 м, l4=0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0 – 4) или в табл. К3б (для рис. 5 – 9); при этом в табл. К3а ω1 и ω2 – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах "Найти".

 

Таблица К3а (к рис. К3.0–К3.4)

 

Номер условия

Углы

Дано

Найти

α° β° γ° φ° θ° ω1, ω2, точек ω звена а точки ε звена
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 90 30 60 30 90 90 0 60 30 60 120 60 150 30 120 150 60 150 120 30 150 30 150 60 120 120 60 120 150 0 0 0 90 0 90 90 0 90 0 120 30 120 30 150 60 30 120 30 60 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - - 4 - 5 - 6 - 2 - 8 В, Е А, Е В, Е А, Е D, Е А, Е В, Е А, Е D, Е А, Е D Е АВ АВ D Е АВ АВ D Е D Е АВ D Е В А В А В А В А В А АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ

 

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9– против хода часовой стрелки и т. д.).

 

 

 

 

Таблица К3б (к рис. К3.5–К3.9)

 

Номер условия

Углы

Дано

Найти

α° β° γ° φ° θ° ω1, ε1, , м/с аВ, м/с2 точек ω звена а точки ε звена
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 120 0 60 0 30 90 0 30 90 60 30 60 150 150 120 120 150 120 120 60 30 90 30 30 120 90 90 30 120 60 90 0 90 0 0 90 0 0 90 90 150 120 30 60 60 60 120 60 150 30 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 4 - 5 - 6 - 8 - 10 - - 4 - 6 - 8 - 2 - 5 - 6 - 8 - 10 - 5 - 4 В, Е А, Е В, Е А, Е В, Е D, Е В, Е А, Е В, Е D, Е АВ D Е АВ АВ D Е D Е D Е АВ D Е АВ В А В А В А В А В А АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ АВ

 

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей на­глядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3б).

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость  и ускорение  – от точки B к b (на рис. 5–9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует восполь­зоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

При определении; ускорений точек механизма исходить из век­торного равенства , где А – точка, ускорение  которой или задано или непосредственно определяется по усло­виям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ); В – точка, ускорение  в которой нужно определить (если точка В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость  опреде­ляется так же, как и скорости других точек механизма).

 

Пример К3. Механизм (рис. К3а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.

Дано: α = 60°, β = 150°, γ = 90°, φ = 30°, θ =30°, А D = D В, l1=0,4 м, l2 =1,2 м, l3 =1,4 м, ω1 = 2 рад/с, ε1 = 7 рад/с2 (направления ω1 и ε1 – против хода часовой стрелки).

Определить: .

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с за­данными углами (рис. К3б).

2. Определяем . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня п направление . По данным задачи, учитывая направле­ние ω1 можем определить ; численно

 м/с; .                                 (1)

Направление  найдем, учтя, что точка В принадлежит одно­временно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная  и направление , воспользуемся теоремой о проек­циях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединя­ющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавли­ваем, в какую сторону направлен вектор  (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

и  м/с.                   (2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следова­тельно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сна­чала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стерж­ню АВ. Для этого, зная  и , строим мгновенный центр скоро­стей (МЦС) стержня АВ; это точка , лежащая на пересечении перпендикуляров к  и ,  восставленных из точек А и В  перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора  опреде­ляем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС . Вектор  будет перпендикулярен отрезку C3D, соединяющему точки D и , и направлен в сторону поворота. Величину  найдем из про­порции

.                                                                   (3)

Чтобы вычислить C3D и С3В, заметим, что  прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30  и 60°, и что С3В=АВsin30°= = 0,5AB = BD.  Тогда  является равносторонним и C3B = C3D. В результате равенство (3) дает

 м/с; .                                (4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню , вра­щающемуся вокруг О2, то . Тогда восставляя из точек Е и О перпендикуляры к скоростям  и , построим МЦС С2 стержня DE. По направлению вектора  определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С2. Вектор  будет направлен в сто­рону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, что  = , откуда . Составив теперь пропорцию, най­дем, что

    ,  м/с.                          (5)

4.  Определяем ω2. Так как МЦС стержня 2 нам известен (точ­ка C2) и

               м,   то  рад/с. (6)

5.  Определяем  Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить , где численно

 м/с2;  м/с2.                          (7)

Вектор  направлен вдоль AO1, а  – перпендикулярно AO1; изображаем эти векторы на чертеже.

Так как точка В одновременно принадлежит ползуну, то вектор  будет параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор  на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и

Для определения  воспользуемся равенством

.                                            (8)

Изображаем на чертеже векторы  (вдоль ВА от В к А) и  (в любую сторону перпендикулярно ВА); численно . Найдя ω3 с помощью построенного ранее МЦС C3 стержня 3, получим

     рад/с,  и  м/с2. (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (3), неизвест­ны только численные значения  и ; их можно найти, спроек­тировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (8) на направление АВ (ось x), перпендикулярное к неизвестному вектору . Тогда получим

.                 (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

 м/с2.                                                               (11)

Так как получилось , то, следовательно, вектор  имеет направление, показанное на рис. К3б.

6. Определяем . Чтобы найти , сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпен­дикулярное АВ (ось y). Тогда получим

.               (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что  м/с2 указывает, что направление  противоположно показанному на рис. К3б. Теперь из равенства  получим

     рад/с2.

Ответ:  м/с,  м/с,  рад/с,  м/с2,  рад/с2.

 

Задача К4

 

Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.4) или круглая плас­тина радиуса R = 60 см (рис. К4.5–К4.9) вращается вокруг непо­движной оси по закону , заданному в табл. К4. Положитель­ное направление отсчета угла  показано на рисунках дуговой стрел­кой. На рис. 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку O (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения OO1, лежит в плоско­сти пластины (пластика вращается в пространстве).

 

Таблица К4

 

Номер условия

Для всех рисунков

Для рис. 0–4

Для рис. 5–9

а, см   h  
0 12 R
1 16
2 10 R
3 16 R
4 8 R
5 20 R
6 12
7 8 R
8 10 R
9 20

 

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0–4) или по окружности радиуса R (рис. 5–9) движется точка М; закон ее относительного движения, т. е. зависимость  (s выражено в сантимет­рах, t – в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0–4 и для рис. 5–9; там же даны размеры а и h. На рисунках точка M пока­зана в положении, при котором >0 (при s < 0 точка М нахо­дится по другую сторону от точки А).

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t1 = 1 с.

Указания. Задача К4 - на сложное движение точки. Для ее решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сло­жении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t1 = 1 с, и изобразить точку именно в этом положе­нии (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5–9, при решении задачи не под­ставлять числового значения R, пока не будут определены положе­ние точки М в момент времени t1 = 1 с и угол между радиусами СМ и СА в этот момент.

 

Пример К4. Шар радиуса R (рис. К4, а) вращается вокруг свое­го диаметра АВ по закону  (положительное направление от­счета угла  показано на рис. К4, а дуговой стрелкой). По дуге большого круга («меридиану») ADB движется точка М по закону ; положительное направление отсчета расстояния s от  A к D.

Дано:  м, ,   (  – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).

Определить:  и  в момент времени t1 = 1 с.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге  относительным (  – относительная траек­тория точки), а вращение шара – переносным движением. Тогда аб­солютная скорость , и абсолютное ускорение  точки найдутся по формулам:

              , ,                               (1)

где в свою очередь, .

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1.Относительное движение. Это движение происходит по закону

.                                                 (2)

Сначала установим, где будет находиться точка М на дуге  в момент времени t1. Полагая в уравнении (2) t1 = 1 с, получим

Тогда  или . Изображаем на рис. К4, а точку в положении, определяемом этим углом (точка М1).

Теперь находим числовые значения :

, , ,

где  – радиус кривизны относительной траектории, то есть дуги . Для момента времени t1 = 1 с, учитывая, что , получим:

 м/с,  м/с2,  м/с2.     (3)

Знаки показывают, что вектор  направлен в сторону положительного отсчета расстояния s, а вектор  – в противоположную сторону; вектор  направлен к центру С дуги . Изображаем все эти векторы на рис. К4, а. Для наглядности приведен рис. К4, б, где дуга  совмещена с плоскостью чертежа.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону . Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение  переносного вращения: ,   и  при t1 = 1 с

 рад/с,  рад/с2.                                          (4)

Знаки указывают, что при  t1 = 1 с направление  совпадает с направлением положительного отсчета угла , а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4, а соответствующими дуговыми стрелками.

Для определения  и  находим сначала расстояния h точки М1 от оси вращения. Получаем  м. Тогда в момент времени t1 = 1 с, учитывая равенства (4), будем иметь:

 м/с,  м/с2,

 м/с2.           (5)

Изображаем на рис. К4, а векторы  и  с учетом направлений ω и  и вектор  (направлен к оси вращения).

3. Кориолисово ускорение. Так как угол между векторами  и осью вращения (вектором ) равен 60°, то численно в момент времени t1 = 1 с [см. равенства (3) и (4)]

 м/с2.         (6)

Направление  найдем, спроектировав вектор  на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена так же, как вектор ), и повернув затем эту проекцию в сторону ω, то есть по ходу часовой стрелки, на 90°. Иначе направление  можно найти, учтя, что . Изображаем вектор  на рис. К4а.

Теперь можно вычислить значения  и .

4. Определение . Так как , а векторы  и  взаимно перпендикулярны (см. рис. К4а), то в момент времени t1 = 1 с

 м/с.

5. Определение . Вектор  слагается из следующих векторов: . Для определения  проведем координатные оси М1ху z (см. рис. К4а) и вычислим проекции вектора  на эти оси. Учтем при этом, что векторы  и  лежат на проведенной оси х, а векторы  расположены в плоскости дуги , то есть в плоскости М1у z (см. рис. К4б). Тогда для момента времени t1 = 1 с, учтя равенства (3), (5), (6), получим:

 м/с2,

 м/с2,

 м/с2.

Отсюда находим значение  в момент времени t1 = 1 с:

 м/с2.

Ответ:  м/с,  м/с2.

 

Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания по статике и кинематике для студентов-заочников машиностроительных специальностей

 

БУДНИК    Ф е л и к с   Г р и г о р ь е в и ч

 

 

Научный редактор       Е.И. Селенский

Редактор издательства Л.Н. Мажугина

Компьютерный набор С.М. Васейкина

Иллюстрации                 С.М. Васейкина

 

 

Темплан 1999 г, п. 55

Подписано в печать    от 20.04.99 г.    Формат 60´84 1/16

Бумага офсетная.             Офсетная печать.                 Усл.печ.л.3,19


Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы!




Мы поможем в написании ваших работ!