Скорость точки при сложном движении
Возьмем неподвижную координатную систему 
и движущуюся по отношению к ней известным образом подвижную систему 
(см. рис. 7.1). Скорость точки М по отношению к системе (абсолютная скорость) будем обозначать 
, скорость по отношению к системе (относительная скорость) - 
, скорость той точки подвижной системы, с которой в рассматриваемый момент времени совпадает точка М (переносная скорость) - 
.
Продифференцируем равенство (7.1) по времени:
. (7.8)
С учетом (7.7) и введенных обозначений, имеем
, (7.9)
где 
.
Первые два слагаемых в формуле (7.9) являются скоростью точки подвижной координатной системы, совпадающей с точкой М в данный момент времени, т.е. являются ее переносной скоростью . В таком случае абсолютная скорость точки равна сумме ее переносной и относительной скоростей.
Окончательный вид формулы (7.9) будет
. (7.10)
Ускорение точки при сложном движении
Для того, чтобы получить соотношение, связывающее ускорения точки в различных системах отсчета, продифференцируем выражение (7.9) по времени:
. (7.11)
Абсолютные производные радиуса-вектора 
и вектора относительной скорости 
с учетом формул (7.11) запишем в виде
;
.
Подставив полученные выражения в (7.11) и сгруппировав их, получим
|
|
|
. (7.12)
Сумма первых трех слагаемых в (7.12) есть ускорение той точки подвижной координатной системы, которая в данный момент времени совпадает с точкой М, т.е. переносное ускорение 
.
Пятое слагаемое носит название поворотного ускорения или ускорения Кориолиса; ниже оно обозначается . После соответствующих преобразований уравнение (8.12) примет вид
. (7.13)
Формула (7.13) выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного ускорений и кориолисова, равного
. (7.14)
Модуль ускорения Кориолиса 
, а направление определяется по правилу векторного произведения.
Ускорение Кориолиса равно нулю, если:
- 
(переносное движение поступательное либо равенство справедливо в некоторые моменты времени) ,
- 
( равенство справедливо в некоторые моменты времени),
- 
(векторы, входящие в (7.14) параллельны).
Заметим, что в формулах (5.10) для вычисления ускорения точки при плоскопараллельном движении тела имеет место первый из оговоренных случаев.
После формулы (7.10) наличие последнего слагаемого в формуле (7.13) может вызвать недоумение. Ниже на простом примере показано, что в общем случае 
.
|
|
|
Рассмотрим круглую платформу радиуса R, вращающуюся вокруг своего центра О с постоянной угловой скоростью 
(рис.7.2). По краю платформы пустим точку М так, чтобы она все время находилась напротив маяка А, установленного на неподвижном основании. Очевидно, что в неподвижной системе отсчета точка М покоится, т.е. ее абсолютные скорость и ускорение равны нулю.
Принимая движение точки М по платформе за относительное, а движение совпадающей с ней точки – за переносное, имеем
; 
; 
.
Ускорения точки М в указанных движениях будут равны своим нормальным составляющим. Последние направлены от точки М к центру платформы и равны 
. Их сумма не равна нулю, что противоречит здравому смыслу (неподвижность точки М).
Появление ускорения Кориолиса объясняется взаимовлиянием переносного и относительного движений, которое отсутствует при независимом рассмотрении картин составляющих движений.
Задачи на сложное движение точки подразделяются на два типа: в первом по известным переносному и относительному движениям определяют абсолютное, во втором известное абсолютное движение раскладывают на интересующие составляющие.
|
|
|
ПРИМЕР 7.1 (задача 23.31 из [2]). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА так, что 
. В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, по закону 
. Определить радиальную и трансверсальную составляющие абсолютной скорости и ускорения шайбы в момент времени 
.
РЕШЕНИЕ. Примем за относительное движение шайбы ее движение вдоль стержня ОА по закону 
; картина этого движения (КОД) и его кинематические характеристики, вычисленные для момента времени , изображены на рис.7.3.
; 
; 
;
Переносным движением шайбы М будет движение точки стержня, находящейся в рассматриваемый момент времени под шайбой. Для расчета ее скорости и ускорения сначала необходимо рассчитать угловую скорость и угловое ускорение стержня ОА:
; 
;
; 
; 
.
Картина переносного движения (КПД) и вычисленные для него кинематические характеристики изображены на рис.7.4.
Ускорение Кориолиса равно 
, его направление см. на рис.7.3.
Теперь вычислим радиальные (проекции на ось Оx подвижной координатной системы) составляющие абсолютной скорости и абсолютного ускорения:
; 
.
Трансверсальные (проекции на ось Oy подвижной координатной системы) составляющие абсолютной скорости и абсолютного ускорения будут
|
|
|
; 
.
Рассмотренная задача позволяет лучше понять формулы для расчета проекций скорости и ускорения точки на оси полярной координатной системы, полученные в параграфе 1.2.б формальным дифференцированием.
ПРИМЕР 7.2 (задача 22.3 из [2]). Корабль, проходящий точку А, движется с постоянной по модулю и направлению скоростью 
. Под каким углом 
к прямой АВ надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна 
? Линия АВ составляет угол 
с перпендикуляром к курсу корабля.
РЕШЕНИЕ. На рис.7.5 схематично изображена акватория, где движутся точки А (корабль) и В (катер). Точкой С обозначено место их предполагаемой встречи.
Представим прямолинейное движение катера (по прямой BС) как сложное, состоящее из переносного движения вместе с кораблем (поступательное движение по прямой АС) и относительного – по отношению к кораблю (в момент старта катера - движение по прямой АВ). Тогда
.
В этом треугольнике известны модули скоростей корабля и катера 
, а так же угол 
между скоростью корабля и линией АВ. Теорема синусов позволяет записать соотношение
.
Тогда 
.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 369; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!