Глобальные кинематические характеристики



Примем в качестве независимых обобщенных координат, определяющих положение тела при плоскопараллельном движении (плоской фигуры при плоском движении), функции (5.1). Тогда глобальными кинематическими характеристиками движения будут так же скорость  и ускорение  полюса, угловая скорость   и угловое ускорение  вращения вокруг полюса.

Выражения для  и  получаются после дифференцирования функций (5.1):

;

                          (5.2)

 ,

где  - орты неподвижной координатной системы .

Повторное дифференцирование позволяет определить  и :

;

                     (5.3)

 .

В формулах (5.1)-(5.3) от выбора полюса зависят векторы

Локальные кинематические характеристики и некоторые способы их определения

Пусть для плоской фигуры известны уравнения движения (5.1). Найдем скорость и ускорение произвольной точки  фигуры (рис.5.5).

Радиус-вектор  , определяющий положение точки в неподвижной системе отсчета, может быть представлен в виде

  (5.4)

где  - радиус-вектор точки  в неподвижной системе отсчета, а - радиус-вектор точки  в координатной системе  (для недеформируемого тела ).

 

Продифференцируем выражение (5.4) по времени:

 .                                              (5.5)

Здесь    и  - скорости точек  и  в неподвижной системе отсчета. Слагаемое

                                                 (5.6)

есть скорость точки  в полусвязанной системе , т.е. скорость, обусловленная вращением плоской фигуры вокруг полюса. Поэтому выражение для скорости точки примет вид

 ,                                (5.7)

т.е. скорость произвольной точки  плоской фигуры равна сумме скорости полюса  и скорости точки  при вращении плоской фигуры вокруг полюса .

Графическая интерпретация формулы (5.7) приведена на рис.5.6.

 

 

Модули и направления векторов, входящих в формулу (5.7), определяются из уравнений (5.2) и (5.6). При этом

 .                                        (5.8)

Для определения ускорения точки  продифференцируем равенство (5.5) по времени:

 .                           (5.9)

Здесь   - ускорения точек  и  в неподвижной системе отсчета;  - вектор углового ускорения; .

Таким образом, ускорения точек  и  связаны между собой соотношением

.                            (5.10)

Второе и третье слагаемые являются соответственно вращательной (  ) и осестремительной ( ) составляющими ускорения точки  при вращении плоской фигуры вокруг полюса ( ) (см. рис.5.4.б). Тогда формулу (5.10) можно записать так

 .                  (5.11)

Графическая интерпретация формулы (5.11) при совпадающих по направлению векторах  и  приводятся на рис.5.7.

 

 

 

Ускорение направлено от рассматриваемой точки к полюсу, а ускорение  - по перпендикуляру к отрезку АВ. Для определения модуля и направления ускорения точки следует воспользоваться уравнениями (5.3) и (5.10). При этом

  .                          (5.12)

В некоторых случаях удобно использовать следующее полезное свойство: проекции скоростей точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.

Для доказательства спроецируем (5.7) на прямую, проходящую через точки  и . Очевидно, что проекция на эту прямую скорости  равна нулю, т.к.  . Тогда

 .                                                  (5.13)

Отмеченное свойство справедливо и в общем случае движения твердого тела, так как является следствием неизменности расстояния АВ.

В том случае, когда за полюс выбрана точка , скорость которой равна нулю (рис.5.8), выражение (5.7) приобретает наиболее простой и удобный для расчета вид:

.                                                   (5.14)

Это означает, что скорости точек при плоскопараллельном движении тела можно определять так же, как и в случае вращения тела вокруг неподвижной оси (см. параграф 3.2.2). При этом ось вращения движется; в каждый момент времени она перпендикулярна плоскости фигуры  и проходит через точку . Она называется мгновенной осью вращения тела, а точка  - мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) плоской фигуры. Часто мгновенная ось вращения – вне тела.

В некоторых случаях (рис.5.9) существование и положение такой точки очевидно. Так, если колесо катится без скольжения по рельсу, то равна нулю скорость той точки колеса, которая соприкасается с рельсом.

 

 

При плоском движении м.ц.с. существует всегда, за исключением случая, когда  и, значит, скорости всех точек тела равны и параллельны (рис.5.10).

Существует и иная трактовка, утверждающая, что м.ц.с. существует и в этом случае, но располагается в бесконечности. 

Очевидно, что если при этом равны ускорения всех точек, то движение тела поступательное, плоское. При неравных ускорениях движение называется мгновенно-поступательным.

Так движутся точки шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма (рис.5.10), обладая в рассматриваемом положении равными скоростями, но разными ускорениями.

 

 

 

При возможны различные ситуации. В том случае, когда известны линии возможных направлений скоростей любых двух точек А и В плоской фигуры, м.ц.с. расположен на пересечении перпендикуляров к указанным линиям, восстановленным из этих точек (рис.5.11).

 

Если перпендикуляры параллельны, то движение плоской фигуры мгновенно-поступательное либо поступательное, плоское. Если перпендикуляры совпадают, то для определения положения м.ц.с. необходимо знать дополнительно модули скоростей точек  и .

 Тогда, используя формулу (5.6) и свойство пропорции, имеем:

 .                                   (5.15)

Соотношение (5.15) позволяет найти как длину любого из отрезков  или , так и угловую скорость вращения тела.

ПРИМЕР 5.1. Судно на регулярном волнении совершает поперечную качку, причем угол крена судна изменяется по закону

 , а центр тяжести судна G движется согласно уравнениям  ;  . При определить скорость и ускорение вершины мачты А , которая расположена над центром тяжести судна на высоте  (рис.5.12).

 

 

РЕШЕНИЕ. Примем за полюс центр тяжести судна – точку G. В момент времени  координаты полюса и угол крена равны:

 ;

 .

Проекции скорости и ускорения полюса на оси неподвижной координатной системы при имеют значения:

 .

Значение угловой скорости и ускорения при :

 .

Для скорости точки А можно записать  .

Поскольку в рассматриваемый момент  то  и .

Для ускорения точки А справедливо равенство .

На рис.5.13 показаны найденные выше составляющие ускорения полюса , а так же вращательная составляющая ускорения  :

(  так как ).

 

Из рисунка следует:

Отсюда получаем

.

 


Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 164; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!