Основные соотношения между локальными и глобальными кинематическими характеристиками
Как и в параграфе 3.2 связь между скоростью точки М тела и угловой скоростью 
(рис.4.4) имеет вид
(4.5)
Ускорение получают путем дифференцирования (4.5) по времени:
. (4.6)
Как и в параграфе 3.2, составляющие ускорения 
и 
называются, соответственно, вращательной и осестремительной. Однако если при вращении вокруг неподвижной оси вращательная составляющая ускорения оказывалась одновременно касательной составляющей, а осестремительная – нормальной, то при сферическом движении этого совпадения, вообще говоря, нет.
ПРИМЕР 4.2. Судно совершает бортовую качку 
, вращаясь вокруг практически неподвижной продольной оси судна 
(см. рис.4.5). В диаметральной плоскости судна вокруг оси 
вращается равномерно с угловой скоростью 
диск гироскопического успокоителя качки. Известен радиус диска 
и мгновенные значения угловой скорости 
и углового ускорения 
.
Определить скорость и ускорение точки А диска.
РЕШЕНИЕ. Неподвижная система осей 
и система осей 
, связанная с гироскопом, показаны на рис.4.5. Гироскоп участвует в двух вращениях: относительно неподвижной оси и относительно поворачивающейся оси с угловыми скоростями 
и 
соответственно (см. рис.4.6).
Таким образом, гироскоп совершает сферическое движение с мгновенной угловой скоростью 
, модуль которой 
. Мгновенная ось вращения проходит через неподвижную точку О и лежит в плоскости 
.
|
|
|
Угловое ускорение состоит из двух составляющих:
.
(при дифференцировании подвижного орта использована формула (1.12)).
Запишем формулу для вычисления скорости точки А обода гироскопа: 
.
Тогда ее модуль равен 
.
Ускорение точки А состоит из трех составляющих:
;
где 
.
В формуле учтено, что 
, так как точка А лежит на линии вектора 
. Векторы скорости и составляющих ускорения нанесены на рис.4.6.
Заметим, что в общем случае составляющие ускорения точки тела, совершающего сферическое движение, могут быть не ортогональными.
4.4.Матрица ориентации, связь глобальных кинематических характеристик с элементами матрицы вращения и углами Эйлера *
Взаимную ориентацию ортов подвижной 
и неподвижной 
систем осей можно задать таблицей направляющих косинусов 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
Составленную из направляющих косинусов 
матрицу А называют матрицей ориентации (или матрицей вращения). Например, если оси 
и 
тождественно совпадают (см. в параграфе 3.2 поворот вокруг неподвижной оси 
), эта матрица 
имеет вид
|
|
|
.
Из курса высшей алгебры известно, что все матрицы вращения обладают двумя полезными свойствами:
где 
- матрица, обратная 
, 
- транспонированная матрица .
Матрицы вращения позволяют получить удобный вид записи связей между столбцами ортов неподвижной и подвижной систем осей (или столбцами соответствующих координат):
(4.7)
Для того, чтобы определить зависимость элементов 
от углов Эйлера, вновь обратимся к рис.4.3, где показаны начальные положения осей (нижние индексы - единица), промежуточные (верхние индексы - два штриха либо один), а так же окончательные положения (индексы отсутствуют). Там же приводятся соответствующие матрицы ориентации для каждого из поворотов. Следуя выражениям (4.7), для промежуточных ортов получим:
Последовательно исключая промежуточные орты, находим
так что 
. (4.8)
Применяя корабельные углы, получают матрицу
Здесь для краткости 
и 
обозначены символами 
и 
.
При малых наклонениях корабля 
можно принять, что синусы малых углов равны самим углам, а косинусы этих углов равны единице. В этом случае элементы матрицы ориентации линейно зависят от углов 
:
|
|
|
.
В предыдущих параграфах малое перемещение тела с одной неподвижной точкой представлено в виде трех последовательных малых поворотов 
. Каждый поворот характеризует свой вектор угловой скорости 
- единичный вектор линии узлов ОК, показанный на рис.4.2.б и 4.3.г). Сложим векторы угловых скоростей и получим проходящий через неподвижную точку О тела вектор суммарной угловой скорости 
:
(4.9)
а значит, и положение мгновенной оси (рис.4.4).
Используя первую из формул преобразования (4.7)
и выписанное выше выражение орта 
, находят компоненты вектора 
в подвижном базисе:
. (4.10)
Отсюда можно записать кинематические уравнения А.Н.Крылова в подвижном базисе:
(4.11)
Используя матрицу вращения, получим проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси:
(4.12)
.
Формулы для вычисления компонент вектора углового ускорения в неподвижном базисе могут быть получены путем дифференцирования по времени выражений (4.12):
|
|
|
. (4.13)
Соотношение
(4.14)
позволяет определить проекции углового ускорения на оси связанной с телом координатной системы (отметим, что для вектора угловой скорости имеет место равенство его абсолютной и относительной производных; это обстоятельство следует из формулы (7.7), которая будет выведена в параграфе 7).
Альтернативным вариантом вычисления компонентов вектора углового ускорения в подвижном базисе является их определение с помощью матрицы вращения по правилу
.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!