Б. Полярная и цилиндрическая координатные системы



В ситуациях, когда для любого момента времени известны расстояние  от начала координат до рассматриваемой точки

и направление на нее (например, движение торпеды по отношению к выпустившей ее неподвижной подводной лодке и т.п.), удобно воспользоваться полярной координатной системой (см. рис.1.4).

  На рисунке  и  - единичные орты осей полярной системы, а ее положение по отношению к плоской декартовой координатной системе определяется углом поворота радиуса-вектора точки М. В этом случае

.                                                      (1.11)                     

Очевидно, что в формулы для скорости и ускорения точки М будут входить производные от единичных ортов полярной системы, так как они, в общем случае, изменяют свое направление.

Запишем выражения, связывающие единичные орты полярной и декартовой координатных систем (см. рис.1.4):

.

 Возьмем производные по времени от этих выражений:

 

                                    (1.12)

Взяв первую производную от выражения (1.11) по времени, получим вектор скорости точки М как

                                                (1.13)

здесь  - проекция скорости на радиус-вектор точки М, а  - на ось, ему перпендикулярную.

 Величину скорости рассчитываем по формуле

.                                      (1.14)

Взяв производную по времени от выражения (1.13), получим вектор ускорения точки М как

                                      (1.15)

здесь  - проекция ускорения на радиус-вектор точки М, а  - на ось, ему перпендикулярную. Величину ускорения рассчитываем по формуле

 .         (1.16)

Цилиндрическая координатная система получается при наращивании полярной координатной системы ортогональной осью аппликат (см. рис.1.5).

 

 

В таком случае выражение для радиуса-вектора точки М будет

                                               (1.17)

Очевидно, что наличие ортогональной составляющей движения соответственно изменит выражения для скорости и ускорения:

;

;                     (1.18)

;

.

ПРИМЕР 1.2.  Судно двигается по прямой с постоянной скоростью . Гребной вал, ось которого параллельна поверхности воды, вращается с постоянной угловой скоростью . Диаметр гребного винта . Найти траекторию, скорость и ускорение точки М – конца лопасти гребного винта (см. рис.1.6).

 

 

 РЕШЕНИЕ. Расчет кинематических характеристик точки М выполним в цилиндрической координатной системе, ось z которой совпадает с осью гребного вала. Учитывая постоянство скорости судна и равномерность вращения вала, законы изменения координат записываются достаточно просто:

.

Тогда   

 .

Траектория точки М – винтовая линия, принадлежащая горизонтальному цилиндру диаметром , ось которого совпадает с осью гребного вала. Время одного оборота вала  шаг винтовой линии .

Замечание: рассмотренная задача могла быть решена и в декартовой координатной системе, но решение оказалось бы более трудоемким.

1.2.в. Криволинейная координатная система           *

В общем случае в каждой точке пространства координат  нужно записывать свою тройку базисных векторов . Совокупность независимых параметров  объединяют одним понятием – криволинейные координаты, при этом векторы  являются их локальным базисом, в общем случае изменяющимся при переходе от одной точки пространства к другой. В рамках настоящего пособия ограничимся рассмотрением ортогональных криволинейных координат (  при ). Именно такими были все координатные системы, рассмотренные нами ранее.

Уравнения движения в криволинейных координатах имеют вид

                                                                  (1.19)

Радиус-вектор любой точки пространства является непрерывной функцией координат :

                                                             (1.20) Например, в декартовой координатной системе его проекции запишутся так:

         (1.21)

Изменяя в (1.21) только одну из обобщенных координат, получают уравнение координатной линии  (см. рис.1.7).

В каждой фиксированной точке  пространства пересекаются три такие линии:

 

Линия

Линия

Линия

Касательные к координатным линиям, направленные в сторону возрастания координат, называют координатными осями  в данной точке. Аналогично, изменяя сразу две координаты при фиксированной третьей, получают координатные поверхности (рис.1.8).

Орт координатной оси  находят путем деления вектора производной (он направлен по касательной к координатной линии) на его модуль . Для точек координатной линии ( ) вектор  в декартовой координатной системе имеет вид , поэтому

, а для модуля вектора

                      (1.22)

 

 

Орт  равен

 ,                                                        (1.23)

Коэффициенты  являются функциями криволинейных координат и называются коэффициентами Ляме (дифференциальными параметрами Ляме). Для прямолинейных осей . В ортогональных системах координат коэффициенты Ляме представляют собой множители при дифференциалах координат в выражениях дифференциалов дуг соответствующих координатных линий. Если элементарное перемещение равно

, то квадрат дифференциала дуги равен

, или, с учетом (1.23)

.

Следовательно, дифференциалы дуг координатных линий (  ) имеют вид

 .                   (1.24)

Часто коэффициенты Ляме находятся именно из этих соотношений. Формулы (1.23) позволяют находить косинусы углов между криволинейными координатными осями и осями декартовых координат:

 

.

Для нахождения проекций скорости точки М на оси криволинейных координат возьмем производную по времени от ее радиуса-вектора :

                                     (1.25)

где  - обобщенные скорости.

Согласно (1.23):

 .                                        (1.26)

Это выражение определяет разложение вектора скорости точки в локальном базисе криволинейных координатных осей:

,                                                                (1.27)

Модуль скорости находится как

 ,                 

а направление вектора скорости относительно координатных осей  задается направляющими косинусами

Для проекций ускорения удобно воспользоваться представлением

 ,

Откуда

 .                     (1.28)

Из равенства (1.25) следует:

 ,                                                               (1.29)

По определению полной производной

здесь 

 .                                                                  (1.30)

Подставляя в (1.28)  значение  из (1.29) и  из (1.30), получим

 

 ,                              (1.31)

Учитывая, что , получим

и  ,

Запишем вектор ускорения точки М: .

Тогда проекции ускорения на оси криволинейной системы координат будут

,                    (1.32)

Модуль ускорения точки равен

 ,                          (1.33)

а направляющие косинусы соответственно

Зависимости (1.27) и (1.32)  позволяют определять проекции скорости и ускорения в любой системе координат с ортогональным базисом (полярная, цилиндрическая, сферическая координатные системы и т. д.), целесообразный выбор которой зависит от вида конкретной задачи.

Пусть, например, движение точки задано в сферической (рис.1.9) координатной системе, т.е заданы функции  . Требуется найти выражения для скорости и ускорения точки.

 

 

Связь декартовых координат со сферическими имеет вид  Из формул (1.22)  найдем коэффициенты Ляме   Из формул (1.27) найдутся проекции скорости и ее модуль как .

Затем по формулам (1.32)  определяем проекции ускорения точки М на криволинейные координатные оси

и модуль ускорения как квадратный корень из суммы квадратов его проекций.

Аналогичные зависимости для цилиндрической координатной системы читателю предлагается вывести самостоятельно и сравнить с формулами, полученными в пункте 1.2.б.

 


Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 179; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!