Векторное описание. Скорость и ускорение



Положение системы отсчета в пространстве может быть определено совокупностью трех линейно-независимых векторов  не обязательно взаимно ортогональных и не обязательно единичной длины (рис.1.1). Эта совокупность представляет собой базис пространства.

Положение точки М можно задать радиусом-вектором  проведенным из точки О базиса в данную точку М. Каждому вектору  базиса  соответствует упорядоченная последовательность действительных чисел :

                                                          (1.1)

При движении точки радиус-вектор изменяется по модулю и направлению, т.е. является функцией времени t:

                                                                                   (1.2)

 

В курсе математики существует полезное для наших целей понятие о годографе вектора как линии, описываемой концом этого переменного вектора, если его начало находится все время в одной и той же точке. С учетом сказанного траектория движущейся точки представляет собой годограф ее радиуса-вектора.

Пусть  в некоторый момент времени  положение движущейся точки определяется радиусом-вектором  а через весьма малый промежуток времени - радиусом-вектором (см. рис.1.2). Перемещение точки за время  определяется вектором  Отношение этого вектора к соответствующему промежутку времени  является средней скоростью точки ; направление  совпадает с .

 

Предел, к которому стремиться средняя скорость, когда  задает скорость точки в момент времени :

                                      (1.3)

Направление вектора  совпадает с предельным положением вектора , т.е. с касательной к траектории в точке .

Аналогичные рассуждения позволяют определить ускорение точки в момент времени  как:

                           (1.4)

Формулы (1.3) и (1.4) лаконичны, имеют ясный физический смысл и удобны при выводе кинематических соотношений, однако не позволяют производить вычисления, что является результатом любой инженерной деятельности.

 

Координатное описание. Скорость и ускорение

А. Декартова координатная система

Наиболее просто кинематические характеристики движения определяются в ортонормированном базисе  (единичные базисные векторы ортогональны). Обычно с этим базисом связывают декартову систему осей . Три числа , которые определяют положение точки М относительно этой системы координат,- это проекции радиуса-вектора на координатные оси:

                                                          (1.5)

Координаты  движущейся точки

                                               (1.6)

обычно полагают дважды дифференцируемыми по времени функциями. Сами уравнения (1.6) называют уравнениями движения точки в декартовой координатной системе или уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время , то комбинации любых двух полученных соотношений  задают траекторию движения точки явно.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью ), в (1.6) достаточно записать лишь первые два уравнения либо получить .

Продифференцировав (1.5) по времени, вектор скорости можно представить в форме:

                       (1.7)

где  - проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Модуль вектора скорости определяется по формуле

                        (1.8)

а направление этого вектора задается косинусами углов с соответствующими координатными осями («направляющие косинусы»):

 .             (1.9)

Выполнив такую же последовательность операций, можно получить выражения для вектора ускорения, его проекций, модуля и направляющих косинусов углов:

 

                      (1.10)

 .

ПРИМЕР 1.1. Морское орудие, дульный срез которого расположен на высоте  над уровнем моря, производит выстрел под углом  к горизонту; скорость вылета снаряда  (см. рис.1.3).

 Полагая известными уравнения движения снаряда в декартовой координатной системе (начало координат на дульном срезе,  - ускорение свободного падения,  - время движения, сопротивление воздуха не учитывается):

необходимо рассчитать дальность полета снаряда, его скорость и ускорение в момент удара о воду.

РЕШЕНИЕ. Формулы для вычисления проекций скорости и ускорения на оси декартовой системы получаются дифференцированием по времени уравнений движения снаряда:

В общем случае значения величин проекций могут быть получены только после расчета времени полета снаряда . Заметим, что в рассматриваемом случае на всем протяжении полета ускорение снаряда оказалось постоянным и равным ускорению свободного падения.

 Время полета снаряда определим из условия .

Решив квадратное уравнение относительно , получим: 

 .

Второй, отрицательный, корень уравнения отброшен, как не имеющий физического смысла.

Подставим найденное значение в формулы для проекций скорости:

Тогда величина скорости снаряда при ударе о воду будет

,

а дальность полета снаряда равна

 .

ПРИМЕР 1.2. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью . В начальный момент времени кривошип занимал горизонтальное положение. Длина шатуна АВ = ОА = 80 см. Точка М шатуна лежит на его середине. Составить уравнения для вычисления координат точек А, В и М механизма в декартовой координатной системе, изображенной на рисунке 5.4. Найти положение точки М в момент времени , а так же проекции скорости и ускорения, их модули и направляющие косинусы с координатными осями.

 

РЕШЕНИЕ. Запишем выражения для проекций точек механизма на оси декартовой координатной системы:

 .

Для нахождения положения точки М в заданный момент времени подставим значение  в выражения для проекций, тогда

.

Для вычисления проекций скорости продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда

.

Теперь можно вычислить модуль вектора скорости и его направляющие косинусы:

 

 ;  .

Для вычисления проекций ускорения второй раз продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда

.

Теперь можно вычислить модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы:

 

 ;  .

Результаты выполненных расчетов нанесены на рисунок 5.5.

 


Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 229; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!