Векторное описание. Скорость и ускорение
Положение системы отсчета в пространстве может быть определено совокупностью трех линейно-независимых векторов 
не обязательно взаимно ортогональных и не обязательно единичной длины (рис.1.1). Эта совокупность представляет собой базис пространства.
Положение точки М можно задать радиусом-вектором 
проведенным из точки О базиса в данную точку М. Каждому вектору 
базиса 
соответствует упорядоченная последовательность действительных чисел 
:
(1.1)
При движении точки радиус-вектор изменяется по модулю и направлению, т.е. является функцией времени t:
(1.2)
В курсе математики существует полезное для наших целей понятие о годографе вектора как линии, описываемой концом этого переменного вектора, если его начало находится все время в одной и той же точке. С учетом сказанного траектория движущейся точки представляет собой годограф ее радиуса-вектора.
Пусть в некоторый момент времени 
положение движущейся точки определяется радиусом-вектором а через весьма малый промежуток времени 
- радиусом-вектором 
(см. рис.1.2). Перемещение точки за время определяется вектором 
Отношение этого вектора к соответствующему промежутку времени является средней скоростью точки 
; направление 
совпадает с 
.
|
|
|
Предел, к которому стремиться средняя скорость, когда 
задает скорость точки в момент времени 
:
(1.3)
Направление вектора 
совпадает с предельным положением вектора , т.е. с касательной к траектории в точке 
.
Аналогичные рассуждения позволяют определить ускорение точки в момент времени как:
(1.4)
Формулы (1.3) и (1.4) лаконичны, имеют ясный физический смысл и удобны при выводе кинематических соотношений, однако не позволяют производить вычисления, что является результатом любой инженерной деятельности.
Координатное описание. Скорость и ускорение
А. Декартова координатная система
Наиболее просто кинематические характеристики движения определяются в ортонормированном базисе 
(единичные базисные векторы ортогональны). Обычно с этим базисом связывают декартову систему осей 
. Три числа 
, которые определяют положение точки М относительно этой системы координат,- это проекции радиуса-вектора на координатные оси:
(1.5)
Координаты движущейся точки
(1.6)
|
|
|
обычно полагают дважды дифференцируемыми по времени функциями. Сами уравнения (1.6) называют уравнениями движения точки в декартовой координатной системе или уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время , то комбинации любых двух полученных соотношений 
задают траекторию движения точки явно.
Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью 
), в (1.6) достаточно записать лишь первые два уравнения либо получить 
.
Продифференцировав (1.5) по времени, вектор скорости можно представить в форме:
(1.7)
где 
- проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.
Модуль вектора скорости определяется по формуле
(1.8)
а направление этого вектора задается косинусами углов с соответствующими координатными осями («направляющие косинусы»):
. (1.9)
Выполнив такую же последовательность операций, можно получить выражения для вектора ускорения, его проекций, модуля и направляющих косинусов углов:
(1.10)
.
ПРИМЕР 1.1. Морское орудие, дульный срез которого расположен на высоте 
над уровнем моря, производит выстрел под углом 
к горизонту; скорость вылета снаряда 
(см. рис.1.3).
|
|
|
Полагая известными уравнения движения снаряда в декартовой координатной системе (начало координат на дульном срезе, 
- ускорение свободного падения, 
- время движения, сопротивление воздуха не учитывается):
необходимо рассчитать дальность полета снаряда, его скорость и ускорение в момент удара о воду.
РЕШЕНИЕ. Формулы для вычисления проекций скорости и ускорения на оси декартовой системы получаются дифференцированием по времени уравнений движения снаряда:
В общем случае значения величин проекций могут быть получены только после расчета времени полета снаряда 
. Заметим, что в рассматриваемом случае на всем протяжении полета ускорение снаряда оказалось постоянным и равным ускорению свободного падения.
Время полета снаряда определим из условия 
.
Решив квадратное уравнение относительно , получим:
.
Второй, отрицательный, корень уравнения отброшен, как не имеющий физического смысла.
Подставим найденное значение в формулы для проекций скорости:
Тогда величина скорости снаряда при ударе о воду будет
,
а дальность полета снаряда равна
|
|
|
.
ПРИМЕР 1.2. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью 
. В начальный момент времени кривошип занимал горизонтальное положение. Длина шатуна АВ = ОА = 80 см. Точка М шатуна лежит на его середине. Составить уравнения для вычисления координат точек А, В и М механизма в декартовой координатной системе, изображенной на рисунке 5.4. Найти положение точки М в момент времени 
, а так же проекции скорости и ускорения, их модули и направляющие косинусы с координатными осями.
РЕШЕНИЕ. Запишем выражения для проекций точек механизма на оси декартовой координатной системы:
.
Для нахождения положения точки М в заданный момент времени подставим значение 
в выражения для проекций, тогда
.
Для вычисления проекций скорости продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда
.
Теперь можно вычислить модуль вектора скорости и его направляющие косинусы:
; 
.
Для вычисления проекций ускорения второй раз продифференцируем полученные выражения по времени и подставим величину . Тогда
.
Теперь можно вычислить модуль вектора ускорения и его направляющие косинусы:
; 
.
Результаты выполненных расчетов нанесены на рисунок 5.5.
Дата добавления: 2019-03-09; просмотров: 321; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!