ПРЯМОЙ ИЗГИБ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ БАЛОК

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Балкой называется брус, претерпевающий деформацию поперечного изгиба.

Прямой изгиб – вид деформации, при котором внешние усилия приложены к брусу перпендикулярно к его продольной оси и действуют в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей инерции бруса (если центр тяжести сечения и центр изгиба совпадают). При этом в поперечных сечениях бруса возникают изгибающий момент и поперечная сила, действующие в той же плоскости, что и внешние силы. Такой изгиб называется прямым поперечным. Если в сечениях бруса возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю, то такой изгиб называется прямым чистым изгибом.

Если центр тяжести сечения и центр изгиба не совпадают, то при прямом изгибе плоскость действия внешних сил проходит через центр изгиба параллельно одной из главных осей инерции поперечного сечения.

Центром изгиба называется точка, находящаяся в плоскости поперечного сечения бруса, в которой приложенная сила перпендикулярна продольной оси, не вызывает кручения сечения.

При построении эпюр внутренних усилий (графиков их изменения по длине бруса) используется метод сечений, описанный в главе 1.

1. На брусе выделяем грузовые участки. Часть бруса, в пределах которой закон изменения внутреннего усилия описывается одним аналитическим выражением, называется грузовым участком. Внешними признаками границ грузовых участков являются:

– точки приложения сосредоточенных сил и моментов;

– места расположения опор;

– места начала и конца действия распределенных нагрузок;

– места изменения интенсивности распределенной нагрузки.

– места изломов оси.

2. В пределах каждого грузового участка проводим сечения, перпендикулярные продольной оси бруса, на расстоянии х_i от начала данного грузового участка или от начала бруса, т.е. начало координат совмещаем с началом каждого грузового участка или оставляем неподвижным на одном из краев бруса (рис. 7.1а).

3. Отбрасываем любую часть (лучше ту, на которую действует больше сил).

4. Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся положительными изгибающим моментом и поперечной силой (рис. 7.1б). При этом используем следующее правило знаков: изгибающий момент в рассматриваемом сечении считается положительным, если от нагрузки, действующей на рассматриваемую отсеченную часть стержня, он стремится растянуть в этом сечении нижние продольные волокна, и отрицательным, если стремится растянуть верхние волокна (рис. 7.2а).

Ординаты эпюр изгибающих моментов принято откладывать со стороны растянутых волокон. Таким образом, знаки для изгибающих моментов в дальнейшем будем использовать только при их вычислении в различных сечениях балки и не указывать на эпюрах изгибающих моментов.

Поперечная сила в сечении считается положительной, если стремится сдвинуть отсеченную часть по ходу часовой стрелки и отрицательной – если против хода часовой стрелки (рис. 7.2б).

5. Составив уравнения равновесия для оставшейся части, определим значения изгибающего момента и поперечной силы в рассматриваемом сечении К (см. рис. 7.1б):

или (7.1)

отсюда

или (7.2)

Выражения (7.1) и (7.2) позволяют сформулировать следующие практически полезные рабочие правила:

1. Поперечная сила в любом сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных к одной (рассматриваемой) части бруса на ось, перпендикулярную оси бруса в данном сечении.

2. Изгибающий момент в любом поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных к одной (рассматриваемой) части бруса относительно центра тяжести рассматриваемого сечения (для плоских систем) или относительно оси, проходящей через центр тяжести данного сечения и перпендикулярной плоскости действия сил (для пространственных систем).

Для выявления опасных сечений, где действуют наибольшие значения изгибающих моментов и поперечных сил, необходимо строить графики их функций т.е. эпюры. Порядок построения эпюр М и Q рассмотрен на ряде примеров при расчете балок на прочность в п. 7.4.

Расчеты на прочность

При прямом поперечном изгибе в поперечном сечении бруса действуют нормальные и касательные напряжения.

Нормальные напряжения вызваны изгибающим моментом и определяются по формуле:

(7.3)

где – величина изгибающего момента в сечении; у – ордината точки, где определяется (рис. 7.3); – главный центральный момент инерции сечения бруса.

По формуле (7.3) можно определять нормальные напряжения в любой точке, лежащей на горизонтальной линии поперечного сечения бруса и отстоящей от нейтральной оси Z на расстоянии у. Знак "минус" перед формулой (7.3) поставлен для того, чтобы при принятых правилах знаков для изгибающих моментов знак полученного нормального напряжения соответствовал характеру деформации точек сечения: "плюс" – растяжению, "минус" – сжатию.

Из соотношения (7.3) видно, что нормальное напряжение зависит от величины улинейно. График, изображающий закон изменения нормальных напряжений по высоте сечения, называемый эпюрой напряжений, показан на рис. 7.3б. Наибольшее нормальное напряжение будет в точке, для которой величина ув формуле (7.3) принимает максимальное значение, т.е. в наиболее удаленной от нейтральной оси точке сечения.

При прямом изгибе нейтральная ось совпадает с главной центральной осью поперечного сечения, перпендикулярной плоскости действия сил.

Анализ формулы (7.3) для определения нормальных напряжений при прямом изгибе и их эпюра (рис. 7.3б) позволяют записать условия прочности при прямом изгибе по нормальным напряжениям. Для пластичных материалов (при R _t = R_c = R) это условие имеет вид:

или:

(7.4)

где (7.5)

Здесь называется осевым моментом сопротивления сечения; – расстояние от нейтральной (центральной) оси до наиболее удаленной точки сечения, взятое по модулю; R – расчетное сопротивление материала по пределу текучести.

Для хрупких материалов, когда расчетные сопротивления материала на растяжение ( R_t) и на сжатие ( R_c) не равны между собой, т.е. R_t R_c, условия прочности для растянутой и сжатой зон записываются отдельно:

(7.6)

(7.7)

где (7.8)

(7.9)

В формулах (7.8) и (7.9) величины и означают наибольшие по модулю расстояния от нейтральной оси сечения соответственно до наиболее растянутого и сжатого волокна. В таких случаях в первую очередь с помощью эпюры изгибающих моментов нужно выяснить, какая часть сечения работает на растяжение, какая – на сжатие.

В приведенных условиях прочности при прямом изгибе означает наибольшее по модулю значение изгибающего момента и берется из эпюры М.

Как и для других видов деформации, условия прочности при прямом изгибе (7.4), (7.6) и (7.7) позволяют решать три типа задач:

1. Проверочная задача – проверка прочности при всех известных данных непосредственно с помощью приведенных формул.

2. Проектная задача – подбор сечения балки. Для решения задач этого типа из условия прочности определяют требуемое значение осевого момента сопротивления, принимая условие прочности со знаком равенства, т.е. = R.

Например, для балки из пластичного материала из формулы (7.4) получаем

Выражая фактическую величину через формулу (7.5) из равенства , находим неизвестный размер сечения или номер профиля для прокатного элемента из таблицы сортаментов.

3. Определение допускаемого значения изгибающего момента, т.е. определение несущей способности балки с заданными размерами и характеристиками:

Касательные напряжения в сечении при прямом поперечном изгибе возникают от поперечной силы и определяются по формуле Д.И. Журавского:

(7.10)

где Q_Y – поперечная сила в том сечении, в точках которого определяются касательные напряжения; – статический момент отсеченной части площади поперечного сечения (части площади выше или ниже точки, в которой определяются касательные напряжения ) относительно центральной (нейтральной) оси Z, взятый по абсолютной величине; b(y) – ширина сечения на уровне точки, для которой определяется касательное напряжение (на расстоянии у от нейтральной оси).

Определение b(y) и для произвольной точки произвольного сечения, а так же характер распределения нормальных и касательных напряжений покажем на примере сечения в виде трапеции (рис. 7.4).

Наибольшие по модулю касательные напряжения будут в тех точках, где отношение достигает максимума. В частности, для прямоугольного сечения при наибольшие по модулю касательные напряжения возникают в точках нейтральной оси, так как статический момент полусечения относительно центральной оси всегда больше, чем для других частей сечения.

В общем случае, условие прочности балки по касательным напряжениям будет иметь вид:

(7.11)

Здесь R_S – расчетное сопротивление материала на сдвиг.

Наибольшие по модулю значения изгибающего момента и поперечной силы , берут из соответствующих эпюр.

Принимая во внимание, что при прямом изгибе другие внутренние силовые факторы, кроме и Q_Y, равны нулю, в дальнейшем при их обозначении нижние индексы Z и Y будем опускать.

Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 13 14 15 16 17 18 192021 22 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!