Исследование объемного напряженного состояния
Как было показано ранее в п. 4.1, напряжения, действующие на гранях элементарного параллелепипеда, в общем случае напряженного состояния представляются в виде тензора напряжений (рис. 4.4а), как упоминалось:
.
Тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали, поскольку по закону парности касательных напряжений имеем:
Рассмотрим определение главных напряжений и положения главных площадок в случае объемного напряженного состояния (все три главных напряжения не равны нулю) (рис. 4.4б).
Предположим, что нам известно положение главной площадки, определяемой нормалью 
. Сечением, параллельным этой площадке, выделим из исходного параллелепипеда тетраэдр, изображенный на рис. 4.5б, и составим условия равновесия тетраэдра в виде суммы проекций действующих на него сил на оси координат. Введем обозначения для направляющих косинусов нормали 
:
cos( 
) = 
; cos( 
) = m; cos( 
) = n. (4.16)
Примем площадь наклонной грани тетраэдра dA = 1, тогда площади других граней будут: dAX = 
, dAy = m, dAZ = n.
Единственное напряжение, действующее на главной площадке, обозначим 
. Сумма проекций сил на ось Х запишется в виде:
Аналогичные равенства будут для осей Y и Z. Все вместе они составят систему однородных уравнений относительно неизвестных косинусов 
, m и n:
(4.17)
Так как между неизвестными существует зависимость
+m2+n2 = 1, (4.18)
|
|
|
то одновременно они все не могут быть равны нулю. В этом случае (доказано в линейной алгебре) определитель однородной системы уравнений равен нулю, т.е.
(4.19)
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение
(4.20)
три корня которого и будут значениями трех главных напряжений в рассматриваемой точке.
Коэффициенты уравнения (4.20) получаются при раскрытии определителя (4.19) и имеют следующий вид:
I1 = 
I2 = 
(4.21)
I3 = 
Эти коэффициенты не зависят от выбора осей координат, поскольку при любых исходных площадках уравнение (4.20) должно давать одни и те же корни 
– главные напряжения в точке. Они называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния (тензора напряжений).
Для определения направляющих косинусов 
соответствующих одной из трех главных площадок, значение главного напряжения на этой площадке надо подставить в (4.17) вместо 
. Совместное решение уравнений (4.17) и (4.18) и даст искомые значения направляющих косинусов 
Деформированное состояние в точке. Обобщенный закон Гука
Установим зависимость относительной линейной деформации от нормальных напряжений в случае объемного напряженного состояния.
|
|
|
Определим относительную продольную деформацию выделенного элемента (см. рис. 4.1б) в направлении главного напряжения σ1, отдельно рассматривая влияние каждого из главных напряжений и складывая результаты в соответствии с принципом независимости действия сил:
.
Под действием напряжения σ1 элемент в направлении этого напряжения на основании закона Гука получит относительное удлинение, равное 
. (Аналогично определятся относительные деформации по направлениям двух других главных напряжений: 
; 
).
В то же время по отношению к напряжениям σ2 и σ3, ребро элемента, параллельное σ1, является поперечным размером, а потому под действием напряжений σ2 и σ3 элемент в направлении σ1 испытывает относительные укорочения, равные:
, 
.
Здесь 
– коэффициент поперечной деформации, называемый коэффициентом Пуассона; ε' – относительная поперечная деформация; ε – относительная продольная деформация.
Таким образом, полная относительная деформация элемента в направлении напряжения σ1 выразится суммой:
.
Подобные же выражения получим и для деформаций в двух других направлениях. В результате имеем:
(4.22)
Касательные напряжения не вызывают удлинений ребер выделенного параллелепипеда, а вызывают лишь изменения прямых углов между его гранями. Закон Гука в общем виде (рис. 4.1а) для объемного напряженного состояния запишется:
|
|
|
(4.23)
В соотношениях (4.23) использована зависимость между тремя упругими постоянными материала – модулем упругости 1-го рода Е, коэффициентом Пуассона n и модулем упругости 2-го рода (модулем сдвига) G:
G = 
.
Формулы (4.23) показывают, что при изменении нормальных и касательных напряжений на всевозможных площадках, проходящих через заданную точку, соответственно изменяются относительные линейные деформации и углы сдвига граней выделенного элемента с бесконечно малыми размерами dx, dy, dz.
Совокупность линейных относительных деформаций и углов сдвига для всевозможных направлений осей, проведенных через заданную точку, называется деформированным состоянием в точке.
Деформации элемента в трех ортогональных плоскостях представим в виде таблицы
аналогичной тензору напряжений и называемой тензором деформаций.
Выражения (4.22) и (4.23), устанавливающие связь между деформациями и напряжениями в общем случае напряженного состояния, носят название обобщенного закона Гука. Они применимы при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности материала и при малых деформациях.
|
|
|
С помощью формул (4.23) обобщенного закона Гука можно определять относительные деформации по любому заданному направлению, если предварительно определить нормальные напряжения вдоль указанного направления и двух других направлений, перпендикулярных заданному.
Относительные деформации ε1, ε2, ε3 в направлениях, для которых отсутствуют углы сдвига, определяемые по формулам (4.22), называются главными деформациями.
Для главных направлений тензор деформаций получит вид:
.
Дата добавления: 2019-02-26; просмотров: 213; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!